Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • (x^2-x+a)/(x^2-2x+a^2-6a)=0 при каких значениях а данное уравнение будет иметь 2 различных корня?

Ответы 1

  • Ответ:

    a\in(-\infty, a_0)\cup(a_0,0)\cup(0,1/4), где a_0\approx-0.16

    Пошаговое объяснение:

    В числителе стоит квадратный трёхчлен, у него может быть не более 2 корней. Значит, чтобы у уравнения было ровно 2 различных корня, числитель должен иметь 2 корня, и ни один из корней числителя не должен быть корнем знаменателя.

    У числителя два неравных корня, если дискриминант больше нуля:

    D=1-4a>0

    Найдём, при каких a хотя бы какой-то корень числителя является корнем знаменателя:

    x^2-x+a=x^2-2x+a^2-6a=0\\\begin{cases}x=a^2-7a\\x^2-x+a=0\end{cases}

    Подставляем найденный x в уравнение:

    a^2(a-7)^2-a(a-7)+a=0\\a(a^3-14a^2+49a-a+7+1)=0\\a(a^3-14a^2+48a+8)=0

    Один корень (a = 0) находится легко, еще один корень можно выписать по формулам для кубических уравнений или найти графически. Можно показать, что что этот корень a_0 единственный и удовлетворяет неравенству 1 - 4a > 0: производная функции f(a)=a^3-14a^2+48a+8 равна f'(a)=3a^2-28a+48. При a < 1/4 производная положительна, кроме того, f(0)>0, f(-1)<0, поэтому f(a) имеет корень на отрезке [-1, 0]. Выражение для a_0 довольно-таки громоздкое, по графику a_0\approx-0.16

    answer img

    • Автор:

      louiehbdo
    • 5 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years