Найти интервалы монотонности функции


y=x^3-3x^2+1


Найти экстремумы функции


а) y=x^2-10x+9
б) y=1/3x^3+x^2-3x+4

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) Найти интервалы монотонности функции

y=x^3-3x^2+1

y'=3x²-6x=0 ; 3x(x-2)=0; x₁=0;x₂= 2

нанесем корни на числовую прямую и определим знаки производной на интервалах

y'            +                         -                             +                                                                    

(-∞)--------------------0------------------------2---------------------------(+∞)

y     возрастает          убывает              возрастает

у возрастает при х∈(-∞;0]∪[2;+∞)

у убывает при х∈[0;2]

2) Найти экстремумы функции  

а) y=x^2-10x+9

y'=2x-10=0 ; x=5

при х<5 y'<0

при х>5 y'>0

⇒ х=5 точка экстремума

экстремум:

y(5)=25-50+9=-16

б) в предположении что (1/3) это коэффициент при х³

y=(1/3)х³+x^2-3x+4

y'=x²+2x-3=0; x₁=1; x₂=-3 (корни найдены подбором с использованием теоремы Виета, но можно и по формуле корней квадратного уравнения)

определим знаки производной в окрестности корней

при х∈(-∞;-3) и х∈(1;+∞) y'>0

при х∈(-3;1) y'<0

⇒ -3 и 2  точки экстремума

экстремумы:

y(-3)=(-27/3)+9+9+4= -9+9+9+4==13

y(1)=(1/3)+1-3+4=2 1/3 (две целых одна третья)