y''-4y'=8-16x !!!!!!!!!!!!!!!

Ответ:

y = C1 + C2*e^(4x) + x*(2x + 1)

Пошаговое объяснение:

y'' - 4y' = -16x + 8

Линейное неоднородное дифф. уравнение.

Решаем сначала однородное.

y'' - 4y' = 0

Характеристическое уравнение

k^2 - 4k = 0

k1 = 0; k2 = 4

Решение однородного уравнения

y0 = C1 + C2*e^(4x)

Находим частное решение неоднородного уравнения.

Для этого напишем уравнение такого же вида, как правая часть.

Но один из корней характеристического уравнения равен 0, поэтому умножим ответ на х.

y* = x*(Ax + B)

y* ' = Ax + B + x*A = 2Ax + B

y* '' = 2A

Подставляем в уравнение

2A - 4*(2Ax + B) = -16x + 8

-8Ax + (2A - 4B) = -16x + 8

Система

{ -8A = -16

{ 2A - 4B = 8

Отсюда

{ A = 2

{ 2A - 4B = 2*2 - 4B = 4 - 4B = 8

B = - 1

y* = x*(4x - 1)

Итоговое решение уравнения

y = y0 + y* = C1 + C2*e^(4x) + x*(4x - 1)