Помогите, пожалуйста, решить задачу на параметры. При всех значениях параметра a решить уравнение: |x +2| + a|x-4| = 6

Разбиваем координатную прямую на отрезки точками - 2 и 4.

1. При x < - 2 будет |x+2| = - x - 2; |x-4| = 4 - x

-x - 2 + a(4 - x) = 6

-x - 2 + 4a - ax = 6

-x - ax = 6 + 2 - 4a

x(-1-a) = 8-4a

x = (8-4a)/(-1-a) = (4a-8)/(a+1)

При а = - 1 решений нет, иначе надо найти такие а, чтобы было х < - 2.

(4a-8)/(a+1) < - 2

(4a-8)/(a+1) + 2 < 0

(4a-8+2a+2)/(a+1) < 0

(6a-6)/(a+1) < 0

6(a-1)/(a+1) < 0

При a € (-1; 1) будет

х = (4а-8)/(а+1)

При других а решений нет.

2. При х € [-2; 4) будет |x+2| = x +2; |x-4| = 4 - x.

x + 2 + a(4-x) = 6

x + 2 + 4a - ax = 6

x - ax = 6 - 2 - 4a = 4 - 4a

x(1-a) = 4(1-a)

При а = 1 будет 0 = 0, х любое, то есть

x € [2; 4)

При всех других а сокращаем (1-а) и получаем х = 4, не входит в промежуток [2; 4), поэтому решений нет.

3. При x >= 4 будет |x+2| = x +2; |x - 4| = x - 4.

x + 2 + a(x - 4) = 6

x + 2 + ax - 4a = 6

x + ax = 6 - 2 + 4a = 4 + 4a

x(a+1) = 4(a+1)

При а = - 1 будет 0 = 0, x любое, то есть x >= 4.

При всех других а будет х = 4, входит в промежуток.

Ответ. При а < -1 будет x = 4.

При а = - 1 будет x >= 4.

При а € (-1; 1) будет х = (4а-8)/(а+1).

При а = 1 будет x € [2; 4).

При а > 1 будет х = 4.