Применение производной и к исследованию функций и построение графиков
y= 1/2 x^2 - x - 4

Выполним построение опираясь на геометрический смысл производной и не только. Для начала найдём все пересечения с осями координат.

Выделим полный квадрат.

Из этого следует, что для (x-1) функция чётная, то есть имеет вертикальную ось симметрию, поэтому для нашей функций x=1 это вертикальная ось симметрии.

Теперь найдём первую производную.

Если x>1, то производная положительная, значит функция возрастает.

Если x<1, то производная отрицательная, значит функция убывает.

При х=1, производная равна нулю и меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому это минимум функции.

Теперь найдём вторую производную.

Как видно производная всегда всегда положительная, поэтому функция всегда выпукла вниз.

Смотри построение внизу.