Помогите пожалуйста найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения методом неопределенных коэффициентов. у" +25у = 100xsin5x+50cos5x необходимо указать корни характеристического уравнения, вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (с неопределенными коэффициентами).

Помогите пожалуйста найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения методом неопределенных коэффициентов.
у" +25у = 100xsin5x+50cos5x необходимо указать корни характеристического уравнения, вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (с неопределенными коэффициентами).
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  guido43
- 5 лет назад

Ответы 2

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения:
$y''+25y=0$
Пусть $y=e^{kx}$ , получим характеристическое уравнение:
$k^2+25=0\\ k=\pm5i$
Характеристическое уравнение имеет два комплексных корня Два линейно независимые решения это $y_1=\cos 5x,~ y_2=\sin5x$
Общее решение однородного дифференциального уравнения:
$y^*=y_1+y_2=C_1\cos 5x+C_2\sin5x$
Рассмотрим правую часть дифференциального уравнения:
$f(x)=e^{0x}(100x\sin5x+50\cos 5x)~~\Rightarrow~~~\alpha =0;~~~ \beta=5\\ P_n(x)=100x~~~\Rightarrow~~~ n=1;~~~ Q_n(x)=50~~~\Rightarrow~~~ n=0$
Число $k=\alpha +i\beta$ принимает значение $k=5i$ , это число является корнем характеристическое уравнение $k^2+25=0$ . Кратность k=1
Частное решение будем искать в виде:
$y^{**}=x^{k}((Ax+B)\sin 5x+(Cx+D)\cos 5x)=\\ \\ =(Ax+B)x\sin 5x+(Cx+D)x\cos 5x$
Вычислим для нее производную второго порядка
$y'=\left(-5Cx^2+\left(2A-5Dight)x+Dight)\sin 5x+(5Ax^2+(5B+2C)x+D)\cos5x\\ \\ y''=(-25Ax^2-(25B+20C)x-10D+2A)\sin 5x+(-25Cx^2+\\ \\ +(20A-25D)x+10B+2C)\cos 5x$
Подставив в исходное дифференциальное уравнение, получим:
$(-20Cx-10D+2A)\sin 5x+(20Ax+10B+2C)\cos 5x=100x\sin 5x+50\cos5x$
Приравниваем коэффициент при xcos5x, xsin5x, sin5x, cos5x, получим систему уравнений:
$\begin{cases}&\text{}2A-10D=0\\&\text{}10B+2C=50\\&\text{}-20C=100\\&\text{}20A=0\end{cases}~~~~\Longrightarrow~~~\begin{cases}&\text{}D=0\\&\text{}B=6\\&\text{}C=-5\\&\text{}A=0\end{cases}$
Частное решение: $y^{**}=6x\sin 5x-5x^2\cos 5x$
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:
$y=y^*+y^{**}=C_1\cos 5x+C_2\sin5x+6x\sin 5x-5x^2\cos 5x$
- Автор:
  ducky
- 5 лет назад
- 0
Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения:
$y''+25y=0$
Пусть $y=e^{kx}$ , получим характеристическое уравнение:
$k^2+25=0\\ k=\pm5i$
Характеристическое уравнение имеет два комплексных корня Два линейно независимые решения это $y_1=\cos 5x,~ y_2=\sin5x$
Общее решение однородного дифференциального уравнения:
$y^*=y_1+y_2=C_1\cos 5x+C_2\sin5x$
Рассмотрим правую часть дифференциального уравнения:
$f(x)=e^{0x}(100x\sin5x+50\cos 5x)~~\Rightarrow~~~\alpha =0;~~~ \beta=5\\ P_n(x)=100x~~~\Rightarrow~~~ n=1;~~~ Q_n(x)=50~~~\Rightarrow~~~ n=0$
Число $k=\alpha +i\beta$ принимает значение $k=5i$ , это число является корнем характеристическое уравнение $k^2+25=0$ . Кратность k=1
Частное решение будем искать в виде:
$y^{**}=x^{k}((Ax+B)\sin 5x+(Cx+D)\cos 5x)=\\ \\ =(Ax+B)x\sin 5x+(Cx+D)x\cos 5x$
Вычислим для нее производную второго порядка
$y'=\left(-5Cx^2+\left(2A-5Dight)x+Dight)\sin 5x+(5Ax^2+(5B+2C)x+D)\cos5x\\ \\ y''=(-25Ax^2-(25B+20C)x-10D+2A)\sin 5x+(-25Cx^2+\\ \\ +(20A-25D)x+10B+2C)\cos 5x$
Подставив в исходное дифференциальное уравнение, получим:
$(-20Cx-10D+2A)\sin 5x+(20Ax+10B+2C)\cos 5x=100x\sin 5x+50\cos5x$
Приравниваем коэффициенты при xcos5x, xsin5x, sin5x, cos5x, получим систему уравнений:
$\begin{cases}&\text{}2A-10D=0\\&\text{}10B+2C=50\\&\text{}-20C=100\\&\text{}20A=0\end{cases}~~~~\Longrightarrow~~~\begin{cases}&\text{}D=0\\&\text{}B=6\\&\text{}C=-5\\&\text{}A=0\end{cases}$
Частное решение: $y^{**}=6x\sin 5x-5x^2\cos 5x$
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:
$y=y^*+y^{**}=C_1\cos 5x+C_2\sin5x+6x\sin 5x-5x^2\cos 5x$
- Автор:
  onievjme
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ