Решить систему дифференциальных уравнений: y'(t) = y(t) + z(t) z'(t) = t + y(t) + z(t)

Решить систему дифференциальных уравнений:

y'(t) = y(t) + z(t)
z'(t) = t + y(t) + z(t)
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  kalliehlqn
- 5 лет назад

Ответы 1

$y(t)=z'(t)-t-z(t)$
Продифференцируем второе уравнение по переменной t, получим
$z''(t)=1+y'(t)+z'(t)~~~\Rightarrow~~~ y'(t)=z''(t)-z'(t)-1$
Подставляем в первое уравнение:
$z''(t)-z'(t)-1=z'(t)-z(t)-t+z(t)\\ \\ z''-2z'=1-t$
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами со специальной правой частью:
Найдем сначала общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:
$z''-2z'=0$
Пусть $z=e^{kt}$ , получим характеристическое уравнение:
$k^2-2k=0\\ k(k-2)=0~~~\Longleftrightarrow~~~ k_1=0;~~~ k_2=2$
Общее решение однородного дифференциального уравнения
$z^*=C_1e^{2t}+C_2$
Рассмотрим полином правой части $f(t)=(1-t)e^{0t}$ здесь $P_n(t)=1-t,~~ \alpha =0,~~ n=1$ . Сравнивая α с корнями характеристического уравнения и, принимая, во внимая что n = 0, частное решение будем искать в виде:
$z^{**}=t(At+B)=At^2+Bt$
$z'=2At+B\\ z''=2A$
Подставляем в исходное диф. уравнение:
$2A-2(2At+B)=1-t\\ \\ 2A-2B-4At=1-t$
Приравниваем коэффициенты при степени t
$\displaystyle \left \{ {{2A-2B=1} \atop {-4A=-1}} ight. ~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{B=-\frac{1}{4}} \atop {A=\frac{1}{4}}} ight.$
Частное решение: $z^{**}=\dfrac{t^2}{4}-\dfrac{t}{4}$
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:
$z=z^*+z^{**}=C_1e^{2t}+C_2+\dfrac{t^2}{4}-\dfrac{t}{4}$
$y=2C_1e^{2t}+\dfrac{t}{2}-\dfrac{1}{4}-t-C_1e^{2t}-C_2-\dfrac{t^2}{4}+\dfrac{t}{4}=C_1e^{2t}-C_2-\dfrac{t^2}{4}-\dfrac{t}{4}-\dfrac{1}{4}$
- Автор:
  alessandrou6xd
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ