Интеграл (2х+1)^2/x


Как это решать? Каким методом решать?

А какой это метод решения? Метод интеграции по частям?

Нет, метод интегрирования по частям применяют, когда подынтегральная функция представлена в виде произведения двух функций, а это непосредственное интегрирование, по формулам, т.е. по таблице. В Вашем примере все три интеграла свелись к табличным.

Надо упростить подинтегрльное выражение.

∫(2х+1)²dx/х=

∫((4x²+4x+1)/x)dx/x=∫4x²dx/x+∫4xdx/x+∫1dx/x=∫4xdx+∫4dx+∫1dx/x=

4x²/2+4x+㏑IxI+c=2x²+4x+㏑IxI+c

Использовал  табличные интегралы. ∫хⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+c

∫dx/xx=㏑IxI+c; но предварительно раскрыл формулу квадрата  двух выражений. (а+в)²=а²+2ав+в²