Математически обоснуйте: может ли быть квадратом двузначного числа четырёхзначное , у которого первая цифра совпадает с третьей , а вторая с четвёртой.30 баллов на кону!

Ответ: Нет, не может

Пошаговое объяснение:

Допустим, существует такое четырехзначное число, удовлетворяющее задаче.

Четырехзначное число можно представить в виде суммы сомножителей

N = a + 10b + 100c + 1000d

Или

N = 1000d + 100с + 10b + a

где a,b,c,d - цифры на месте единиц, десятков, сотен и тысяч соответственно.

У нас по условию совпадают:

1я и 3я цифры (обозначим как х);

2я и 4я цифры(обозначим как у).

Значит, наше число выглядит так:

N = 1000х + 100у + 10х + у

Преобразование:

N = 1000x + 10x + 100y + y =

= (1000x + 10x) +(100y + y)

Для наглядности домножим на 1, "где нужно":

N = (100•10x + 1•10x) + (100•y + 1•y) =

= (100+1)•10x + (100+1)•y =

= (100+1)•(10x+y) = 101(10х+у)

Как известно, любое число можно единственным способом представить в виде разложения на простые множители, причем некоторые из множителей могут присутствовать несколько раз:

M = a^k • b^m • c^n ...

(где a,b,c... простые).

Квадрат любого числа - состоит из тех же простых множителей a,b,c..., что и само число.

М^2 = М•М =

=(a^k • b^m • c^n...)•(a^k • b^m • c^n...) =

= a^2k • b^2m • c^2n...

101 - это простое число, и оно трехзначное. По условию задачи наше четырехзначное число - квадрат двузначного. НО!

!!! НИКАКОЕ ДВУЗНАЧНОЕ ЧИСЛО НЕ МОЖЕТ ИМЕТЬ ТРЕХЗНАЧНОГО ЧИСЛА В КАЧЕСТВЕ ОДНОГО ИЗ МНОЖИТЕЛЕЙ, НА КОТОРЫЕ ОНО РАЗЛАГАЕТСЯ !!!

Мы пришли к противоречию, невозможной ситуации.

Следовательно предположение, сделанное изначально - неверно.

И такого четырехзначного квадрата двузначного числа, как требуется в условии, не существует.

Ч.Т.Д