xy^2y'=x^2+y^3 Дифферинциальное уравнение. - Znanija.Site

xy^2y'=x^2+y^3
Дифферинциальное уравнение.
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  alan60
- 5 лет назад

Ответы 1

Умножим дифференциальное уравнение на интегрирующий множитель $\dfrac{1}{x^4}$ . Тогда уравнение примет вид
$\underbrace{\dfrac{-y^3-x^2}{x^4}}_{M(x;y)}dy+\underbrace{\dfrac{y^2}{x^3}}_{N(x;y)}dy=0$
Заметим, что $M'_y(x;y)=-\dfrac{3y^2}{x^4}=N'_x(x;y)$ , т.е. дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Интегрируем функцию F сначала по х: $F(x;y)=\displaystyle \int M(x;y)dx=\int\dfrac{-y^3-x^2}{x^4}dx=\dfrac{y^3+3x^2}{3x^3}+C(y)$
Теперь продифференцируем по переменной у:
$F'_y(x;y)=\dfrac{y^2}{x^3}+C'(y)$ . Действительно, $F'_y(x;y)=N(x;y)=\dfrac{y^2}{x^3}$ . Отсюда $C'(y)=0~~~\Rightarrow C(y)=0$
Общий интеграл: $\dfrac{y^2+3x^2}{3x^3}=C$
- Автор:
  chavez
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ

Еще вопросы

How much to ban the user?

1 hour 1 day 100 years