Найт предел функции

Ответ будет -2/9, но не знаю, как его получить, нужно подробное решение

учитель не принимает лопиталя

Тогда пойдем другим путем. Надо было оговорить этот момент. Ну и где дописывать теперь ответ?

А тут второй раз нельзя отвечать? (первый раз здесь) А в комментариях?

Я пробовал через бесконечно малые, но немного запутался со знаменателем. В числителе все просто, там -4(1-cos x) заменил на (-4*x^2)/2 и получилось -2x^2. Но вот со знаменателем беда, только знаю,что можно sin x заменить на х

Имеем  неопределенность 0/0, пределы от числителя и знаменателя при указанном стремлении к нулю икса существуют. Есть смысл пролопиталить. Найдем производные от числителя и знаменателя и разделим производную числителя на  производную знаменателя.

-4sinx/(-sinx*sin²3x+2*3cosxsin3x*cos3x)=

-4sinx/(-sinx*sin²3x+3cosxsin6x)

При решении пользовался формулой синуса двойного аргумента sin2x=2sinx*cosx.

ОТ неопределенности не избавились. Еще раз найдем производные числителя и знаменателя, поделим производную числителя на производную знаменателя, получим

(-4cosx)/(-cosx*sin²3x-3*2*sinx*sin3x*cos3x-3sinx*sin6x+3*6cosx*cos6x)

Подставляем вместо х нуль. Все слагаемые, содержащие синус, уничтожатся, т.к. синус нуля равен нулю. Останется -4*cos0/18cos0*cos(6*0)=-4/18=-2/9.

Ответ, как Вы и ожидали, -2/9

Ответ:

=-2/9

Пошаговое объяснение:

=lim(x->0) (-8sin^2x/2)/cosxsin^2(3x)=

=lim(x->0) (-8sinx/2sinx/2*3x*3x*x^2*(1/4)/(cosx*sin3x*sin3x*(x/2)*(x/2)* (9x^2))=

=lim(x->0) (-8*1/4*x^2)/(cosx*9*x^2)=lim(x->0) -2/9cosx=-2/9

использован первый замечательный предел

lim(x->0) sinx/x=1

cosx-1=-2sin^2x/2