Найти наибольшее или наименьшее значение функции на указанной области.
z = x - 2y - 3.
D: 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1; 0 ≤ x + y ≤ 1.

Нужно полное решение с изображением ОДЗ на рисунке.

Для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции z = x - 2y - 3 на указанной области D воспользуемся методом Лагранжа.

1. Составим функцию Лагранжа:

L(x, y, λ) = x - 2y - 3 + λ(1 - x - y) + λx + λy

2. Найдем частные производные функции L(x, y, λ) по переменным x, y и λ:

∂L/∂x = 1 - λ

∂L/∂y = -2 - λ

∂L/∂λ = 1 - x - y

3. Приравняем частные производные к нулю и решим полученную систему уравнений:

1 - λ = 0 => λ = 1

-2 - λ = 0 => λ = -2

1 - x - y = 0 => y = 1 - x

4. Подставим полученное значение λ в первые два уравнения и решим систему:

1 - λ = 0 => λ = 1

-2 - λ = 0 => λ = -2

Получили противоречие, значит решение не существует.

5. Проверим значения функции на границах области D:

- при x = 0, y = 0: z = -3

- при x = 1, y = 0: z = -2

- при x = 0, y = 1: z = -5

- при x = 1, y = 1: z = -4

Таким образом, наибольшее значение функции z = x - 2y - 3 на области D достигается при x = 1, y = 0 и равно -2, наименьшее значение функции достигается при x = 0, y = 1 и равно -5.