Исследовать функцию на монотонность и экстремумы y=2x^3-3x^2+1

Найдем производную данной функции:

y' = 6x^2 - 6x

Производная равна нулю при x=0 и x=1. Это значит, что функция имеет экстремумы в точках x=0 и x=1.

Для исследования монотонности найдем знак производной на каждом из трех интервалов: (-∞, 0), (0, 1), (1, +∞).

На интервале (-∞, 0) производная отрицательна, так как 6x^2 < 6x при x < 0. Это значит, что функция убывает на этом интервале.

На интервале (0, 1) производная положительна, так как 6x^2 > 6x при 0 < x < 1. Это значит, что функция возрастает на этом интервале.

На интервале (1, +∞) производная снова отрицательна, так как 6x^2 < 6x при x > 1. Это значит, что функция убывает на этом интервале.

Итак, мы выяснили, что функция возрастает на интервале (0, 1) и убывает на интервалах (-∞, 0) и (1, +∞). Также мы нашли экстремумы функции в точках x=0 и x=1.

Проверим, являются ли эти точки экстремумами минимума или максимума, для этого можно использовать знак второй производной функции:

y'' = 12x - 6

Подставим найденные ранее значения x:

y''(0) = -6 < 0, значит, точка x=0 является точкой максимума.

y''(1) = 6 > 0, значит, точка x=1 является точкой минимума.

Итак, мы получили, что функция y=2x^3-3x^2+1 возрастает на интервале (0, 1) и убывает на интервалах (-∞, 0) и (1, +∞), имеет экстремум максимума в точке x=0 и экстремум минимума в точке x=1.