исследуйте функцию на монотонность и экстремумы y=sinx-1/2x^2-lnx ​

Найдем первую и вторую производные функции y = sin(x) - (1/2)x^2 - ln(x):

y' = cos(x) - x - 1/x

y'' = -sin(x) - 1/x^2

Чтобы исследовать функцию на монотонность и экстремумы, найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует:

y' = 0

cos(x) - x - 1/x = 0

cos(x) = x + 1/x

Для решения этого уравнения можно воспользоваться графиком функций y = cos(x) и y = x + 1/x. На графике видно, что функции пересекаются на интервалах -1, 0 и 0, 1, а также приблизительно в точках x ≈ -0,7 и x ≈ 0,6.

Теперь найдем значения второй производной в этих точках:

y''(-0,7) ≈ -0,8

y''(0) = -1

y''(0,6) ≈ -0,7

y''(1) ≈ 0,5

Исходя из знака второй производной в каждой из этих точек, можем сделать выводы о возможных экстремумах и монотонности функции:

1. Функция монотонно убывает на интервале (0, +∞), так как y'(x) < 0 при x > 1.

2. Функция имеет локальный максимум в точке x ≈ -0,7, так как y'(x) = 0 и y''(x) < 0.

3. Функция монотонно возрастает на интервале (0, 0,6) и на интервале (1, +∞), так как y'(x) > 0 при x < 0,6 и y'(x) > 0 при x > 1.

4. Функция имеет локальный минимум в точке x ≈ 0,6, так как y'(x) = 0 и y''(x) < 0.

5. Функция не имеет глобальных экстремумов, так как неограничена сверху и снизу на интервале (0, +∞).

Таким образом, исследование производных позволяет сделать выводы о монотонности и экстремумах функции y = sin(x) - (1/2)x^2 - ln(x).