«Векторная алгебра и аналитическая геометрия»
Вариант 28
Задание 1. Дан треугольник АВС: A (2;1), В (5;3), C (3;-4).
Найти: 1) длины всех сторон; 2) внутренний угол при вершине А; 3) площадь
треугольника; 4) уравнение прямой BN , параллельной стороне AC ; 5) уравнение
медианы CD; 6) уравнение высоты AE; 7) точку пересечения медианы и высоты.
Построить треугольник

1. Длины сторон:

AB = √(5-2)^2 + (3-1)^2 = √(9 + 4) = √13

BC = √(3-5)^2 + (-4-3)^2 = √((-2)^2 + (-7)^2) = √53

CA = √(3-2)^2 + (-4-1)^2 = √(1 + 25) = √26

2. Внутренний угол при вершине А:

Используем теорему косинусов для нахождения косинуса угла А:

cos(A) = (BC^2 + CA^2 - AB^2) / (2 BC CA)

cos(A) = (53 + 26 - 13) / (2 √53 √26)

cos(A) = 3 / (2 √689)

A = arccos(3 / (2 √689))

A ≈ 61,5 градусов

3. Площадь треугольника:

Для нахождения площади треугольника можно воспользоваться формулой Герона:

p = (AB + BC + CA) / 2

p = (√13 + √53 + √26) / 2

S = √p(p - AB)(p - BC)(p - CA)

S ≈ 12,1

4. Уравнение прямой BN, параллельной стороне AC:

Прямая BN параллельна стороне AC, поэтому ее угловой коэффициент равен угловому коэффициенту прямой AC:

k = (yC - yA) / (xC - xA) = (-4 - 1) / (3 - 2) = -5

Так как точка B принадлежит прямой BN, то уравнение прямой BN имеет вид:

y - yB = k(x - xB)

y - 3 = -5(x - 5)

y = -5x + 28

5. Уравнение медианы CD:

Медиана CD является биссектрисой угла C, поэтому она делит сторону AB в отношении длин AC:CB = 2:1. Найдем координаты точки D:

xD = (2 + 3) / 2 = 2,5

yD = (1 - 4) / 2 = -1,5

Тогда уравнение медианы CD имеет вид:

y + 1,5 = (1/2)(5 - 2,5)(x - 2,5)

y + 1,5 = 1,25(x - 2,5)

y = 1,25x - 3,125

6. Уравнение высоты AE:

Высота AE проходит через вершину A и перпендикулярна стороне BC. Значит, ее угловой коэффициент равен отрицательному обратному к угловому коэффициенту стороны BC:

k = (yC - yB) / (xC - xB) = (-4 - 3) / (3 - 5) = 3/2

k' = -2/3

Так как точка A принадлежит прямой AE, то уравнение прямой AE имеет вид:

y - yA = k'(x - xA)

y - 1 = -(2/3)(x - 2)

y = -(2/3)x + 7/3

7. Точка пересечения медианы и высоты:

Для нахождения точки пересечения медианы и высоты нужно решить систему уравнений уравнений медианы и высоты:

y = 1,25x - 3,125

y = -(2/3)x + 7/3

Решив систему уравнений, получим:

x = 3

y = -1,25