Исследовать функцию и построить график
f(x)=x^2-3x-2/x^2-1
Нужно найти:
Область определения
Чётность и не чётность
Вертикальная и не вертикальная асимптота
Монотонность и точки экстремулов
Пересечение с OX, OY

Очень сильнл прошу

1. Область определения функции: x^2 - 1 ≠ 0 => x ≠ ±1. Таким образом, область определения функции f(x) - все действительные числа, кроме 1 и -1: D(f) = (-∞, -1) ∪ (-1, 1) ∪ (1, +∞).

2. Чтобы определить четность или нечетность функции, необходимо проверить, выполняется ли равенство f(-x) = f(x) для любого x из области определения функции. Подставим -x вместо x в функцию:

f(-x) = (-x)^2 - 3(-x) - 2 / (-x)^2 - 1 = x^2 + 3x - 2 / x^2 - 1

Сравнивая это выражение с f(x), замечаем, что f(-x) ≠ f(x). Значит, функция не является четной. Теперь заменим x на -x в каждом слагаемом второго члена функции:

f(-x) = x^2 + 3x - 2 / x^2 - 1 = -f(x)

Видим, что f(-x) = -f(x). Значит, функция является нечетной.

3. Найдем вертикальные асимптоты функции. Для этого изучим, что происходит с функцией при x, близких к -1 и 1. При x → -1 и x → 1 знаменатель функции стремится к нулю, а числитель остается конечным. Таким образом, имеем две вертикальные асимптоты: x = -1 и x = 1.

4. Найдем горизонтальную асимптоту функции. Для этого будем рассматривать поведение функции на бесконечности. При x → ±∞ числитель и знаменатель функции стремятся к бесконечности, причем степени x равны. Таким образом, имеем горизонтальную асимптоту y = 1.

5. Найдем производную функции:

f'(x) = (2x^2 - 6x(x^2 - 1) - 2(x^2 - 1)) / (x^2 - 1)^2 = (4x^3 - 6x) / (x^2 - 1)^2

Производная равна нулю при x = 0 и x = ±√3/2. При этом f(x) имеет локальный минимум в точке x = -√3/2 и локальный максимум в точке x = √3/2.

6. Найдем точки пересечения функции с осями координат. Для этого решим уравнение f(x) = 0:

x^2 - 3x - 2 = 0

D = 3^2 + 8 = 17

x1 = (3 + √17) / 2, x2 = (3 - √17) / 2

Таким образом, функция пересекает ось OX в точках x1 и x2, а ось OY - в точке x = 0.

7. Построим график функции:

!alt text

Видим, что функция имеет вертикальные асимптоты x = -1 и x = 1, а горизонтальная асимптота находится на уровне y = 1. Точки пересечения с осями координат: (-2, 0), (1, 0) и (0, -2). Функция нечетная и имеет локальный минимум в точке (-√3/2, -11/4) и локальный максимум в точке (√3/2, -11/4).