доказать, что если члены ар aq ar as арифметической прогрессии образуют геометрическую прогрессию, то последовательность p-q q-r r-s является геометрической прогрессией

Пусть aq является средним членом арифметической прогрессии, образованной членами aq и ar.

Тогда, согласно формуле среднего члена арифметической прогрессии, имеем:

aq = (aq + ar) / 2

Отсюда получаем, что ar = 2aq - ar.

Также, по определению геометрической прогрессии, имеем:

(ar / aq) = (aq / ap)

(as / ar) = (ar / aq)

Умножим обе части первого уравнения на ar, а обе части второго уравнения на aq:

ar^2 / aq = ap

as / aq = ar^2 / ap

Подставим второе равенство в первое и получим:

ar^3 / aq^2 = ap

Таким образом, имеем:

ap = ar^3 / aq^2

Далее, заменим ar на 2aq - ar и подставим полученное выражение в предыдущее уравнение:

ap = (2aq - ar)^3 / aq^2

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

ap = (8aq^3 - 12aq^2 ar + 6aq  ar^2 - ar^3) / aq^2

Для выражения последовательности p-q q-r r-s, выразим p, r и s через aq и ar:

p = 2aq - ar

r = ar

s = 2ar - as

Подставим выражения для ar и as в последнее уравнение:

s = 2ar - as

s = 2ar - ar^2 / ar

s = 2ar - ar

s = ar

Таким образом, последовательность p-q q-r r-s имеет вид:

p = 2aq - ar

q = aq

r = ar

s = ar

Подставим выражения для q и r в равенства, определяющие геометрическую прогрессию:

(r / q) = (q / p)

(s / r) = (r / q)

Получаем:

(ar / aq) = (aq / (2aq - ar))

(ar / aq) = ((2aq - ar) / aq)

Умножим обе части первого уравнения на (2aq - ar) и сравним с вторым уравнением:

(ar^2 / aq) = (2aq - ar)^2 / aq

ar^2 = (2aq - ar)^2

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

ar^2 = 4aq^2 - 4aq ar + ar^2

4aq^2 - 4aq  ar = 0

aq = ar

Таким образом, получили, что p-q q-r r-s является геометрической прогрессией.