Помогите, пожалуйста.
Конечная геометрическая прогрессия состоит из различных натуральных чисел. произведение членов этой прогрессии является делителем числа 19600.
Может ли эта прогрессия состоять из 3 членов?
Может ли эта прогрессия состоять из 5 членов?
Может ли эта прогрессия состоять из 4 членов?

Разложим число 19600 на простые множители:

Делителем этого числа будет некое число .

Не забудем также, что в разложение числа можно добавить единицу в любой степени (обозначим показатель степени единицы за x).

а) Может ли эта прогрессия состоять из 3 членов?

Пусть такая прогрессия существует. Тогда произведение её членов равно .

Мы видим, что возможно найти кубы чисел в данном разложении: например, можно взять куб единицы и куб двойки. Приведём пример: пусть . Тогда произведение членов этой прогрессии равно . Такое может быть.

б) Может ли эта прогрессия состоять из 5 членов?

Пусть такая прогрессия существует. Тогда произведение её членов равно .

Если самую большую степень отдать под единицу, то есть 10, то остаётся пятая степень, а в разложении максимально возможная степень — это 4. Если бы мы отдали пятую степень под единицу, тем более случай бы не реализовался.

Случай с ненатуральным знаменателем прогрессии также не реализуется, так как первый её член — это как минимум четвёртая степень какого-то числа, которое стоит в знаменателе q (если q — рациональное число). При перемножении всех пяти членов в произведении будет как минимум двадцатая степень, которой нет в разложении (единица не в счёт, иначе знаменатель будет натуральным числом). Иррациональным знаменатель прогрессии быть не может, иначе некоторые его члены будут также иррациональны.

Таким образом, прогрессия не может состоять из 5 членов.

в) Может ли эта прогрессия состоять из 4 членов?

Пусть такая прогрессия существует. Тогда произведение её членов равно .

Шестую степень можно отдать под единицу, а четвёртую – под двойку. Тогда мы получим такую прогрессию: . Произведение её членов равно . То есть такое может быть.

Ответ: а) да; б) нет; в) да