Помогите решить задание, пожалуйста, уже 30 минут сижу кумекаю, заранее спасибо

Сумма S существует и конечна. Найдите ее. S = \frac{1}{3}-\frac{3}{3^2}+\frac{5}{3^3}-\frac{7}{3^4}+...+(-1)^{n+1}\frac{2n-1}{3^n}+...

Если понятие "частичная сумма" вызывает вопросы, то советую посмотреть раздел про частичную сумму ряда, обратив внимание на пример №4. В этом примере подробно раскрывается суть частичной суммы и остатка.

В данной теме нас будет интересовать вопрос нахождения сумм числовых рядов по определению. Определение суммы ряда опирается на значение lim

n

→

∞

S

n

, поэтому для нахождения суммы нам нужно выполнить два шага:

1. Составить n-ю частичную сумму S
2. n
3. ;
4. Найти lim
5. n
6. →
7. ∞
8. S
9. n
10.  (если он существует).

Если конечный lim

n

→

∞

S

n

 существует, то его значение и будет суммой рассматриваемого ряда, а сам ряд будет именоваться сходящимся. Если же lim

n

→

∞

S

n

=

∞

 или lim

n

→

∞

S

n

 не существует, то ряд будет расходиться. Есть несколько стандартных приёмов, которые применяются для нахождения суммы числовых рядов. Например, для нахождения суммы ряда, общий член которого имеет вид рациональной дроби u

n

=

P

(

n

)

Q

(

n

)

, вполне подходит такой алгоритм:

1. Разложить дробь P
2. (
3. n
4. )
5. Q
6. (
7. n
8. )
9.  на элементарные дроби (процедура разложения описана тут).
10. Записать выражение для частичной суммы S
11. n
12. , используя результаты предыдущего пункта.
13. Перегруппировать слагаемые в выражении для S
14. n
15. , приведя их к удобному для сокращения виду.
16. Используя результат предыдущего пункта, найти lim
17. n
18. →
19. ∞
20. S
21. n
22. .

Для нахождения суммы ряда нередко удобно использовать и такое свойство:

Пусть общий член ряда ∞

∑

n

=

1

u

n

 можно представить в виде u

n

=

b

n

+

1

−

b

n

. Если существует конечный предел lim

n

→

∞

b

n

=

b

, то ряд ∞

∑

n

=

1

u

n

 сходится. При этом частичная сумма ряда равна S

n

=

b

n

+

1

−

b

1

, а сумма ряда S

=

b

−

b

1

.

Доказательство этого свойства может быть интересно не всем читателям, поэтому я скрою его под примечание.