1. Построение графиков функции с помощью производной.

2. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Подробно.

В качестве примера применим вышеописанный алгоритм для построения графика функции .

1. Найдём область определения функции. Это – множество всех действительных чисел .

2. Выясним чётность-нечётность функции.

для всех  из области определения.

Значит,  — чётная.

3. Выясним периодичность функции. В нашем случае функция  не является периодической.

4. Найдём точки пересечения графика функции с осями координат. Определим интервалы знакопостоянства.

 при , то есть при  и .

 при , то есть при .

 при , то есть при .

При  .

5. Определим интервалы монотонности функции. Найдём точки экстремума функции.

.

 существует всюду на области определения самой функции .

 при , , ,

 при ,

 при .

Значит,  возрастает на интервалах  и ,

убывает на интервалах  и ,

 является точкой локального минимума, .

6. Определим интервалы выпуклости функции. Найдём точки перегиба.

.

 существует всюду на области определения самой функции .

 при , , , ,

 при ,

 при .

Значит,  выпукла вниз на интервалах ; ; ,

выпукла вверх на интервалах ; ,

, , ,  — точки перегиба, , , , .

Соберём все полученные сведения в таблицу. Поведение функции отразим дугами, соответствующими возрастанию/убыванию, выпуклости вниз/вверх, а в скобках укажем положительность/отрицательность функции

На уроках алгебры учитель просит определить наибольшее и наименьшее значение функции. Что он имеет в виду?

Чтобы найти наименьшее или наибольшее значение функции, необходимо понять, какое наименьшее или наибольшее численное значение принимает 

y

y — зависимая переменная.

Наибольшее значение функции 

y

=

f

(

x

)

y=f(x) на некотором промежутке 

{

a

;

b

}

{a;b} — это значение 

m

a

x

y

=

f

(

x

0

)

,

x

0

∈

{

a

;

b

}

,

max y=f(x 

0

​

 ), x 

0

​

 ∈{a;b}, которое при любом значении

x

∈

{

a

;

b

}

,

x

≠

x

0

x∈{a;b},x 



​

 =x 

0

​

 делает справедливым неравенство 

f

(

x

)

≤

f

(

x

0

)

.

f(x)≤f(x 

0

​

 ).