На плоскости сидят красные и синие хамелеоны так, что никакие три хамелеона одного цвета не сидят на одной прямой (хамелеонов каждого цвета не меньше трёх). Докажите, что какие-то три хамелеона одного цвета образуют треугольник, на трёх сторонах которого сидит не более двух хамелеонов другого цвета.

Ответ — нет, все хамелеоны никогда не станут одного цвета, и вот как мы это находим.

Обозначим количество зеленых, синих и красных хамелеонов латинскими буквами G, B и R. Опишем то, что происходит при встрече хамелеонов:

если встречаются зеленый и синий, количество зеленых становится равно G –1, и количество синих становится равно B — 1, а количество красных становится равно R + 2. Поиграем с этими выражениями: запишем, что происходит при встрече двух ящериц с разницей между числом хамелеонов разных цветов:

G – B меняется на G — 1 — (B -1) = G – B

B – R меняется на B — 1 — (R + 2) = B – R – 3

R – G меняется на R + 2 — (G — 1) = R –G + 3

Таким образом каждый раз после встречи хамелеонов разница между количеством ящериц разных цветов либо остается прежней, либо меняется на 3.

Чтобы все хамелеоны на острове стали одного цвета, нужно, чтобы не осталось двух других цветов, то есть чтобы выражение G –B, B–R или R–G равнялось нолю (потому что обе переменные равны нолю).

В нашем случае G –B=-2, B–R=-2 и R–G =4. Как мы помним, каждая встреча хамелеонов либо оставляет разницу наизменной, либо меняет на 3. Как получить 0, прибавляя или отнимая 3 к (или от) -2 или 4? Никак.