1. В стопке лежат одинаковые карточки, на которых записаны
числа от 1 до

12. Билл взял одну карточку и тайно отметил на ней 4 числа.
Марк может

сделать то же самое с несколькими карточками. Затем карточки
открыва-

ют. Если на одной из карточек Марка хотя бы два из четырёх
отмеченных

чисел совпадут с числами Билла, то Марк выигрывает. Какое
наименьшее

число карточек должен взять Марк и как их заполнить, чтобы
наверняка

выиграть?

2. Дан прямоугольник  abcd .
На луче dc отложен отрезок dk, равный bd.

Точка m
— середина отрезка bk.
Докажите, что am —
биссектриса угла

bac.

3. У фокусника есть два комплекта по 8 карточек. На розовых
карточках за-

писаны целые числа от 0 до 7. На первой голубой карточке
написано 1, а

число на каждой следующей голубой карточке в 8 раз больше
предыдуще-

го. Фокусник раскладывает карточки попарно (розовую с
голубой). Затем

зрители перемножают числа в каждой паре и находят сумму всех
8 про-

изведений. Фокус состоит в том, что в сумме должно
получиться простое

число. Подскажите фокуснику, какие карточки можно для этого
объеди-

нить в пары (или докажите, что у него ничего не получится).

4. На плоскости нарисовали 5 красных точек. Все середины
отрезков меж-

ду ними отметили синим цветом. Расположите красные точки
так, чтобы

синих точек было минимально возможное количество. (Точка
может ока-

заться красной и синей одновременно.)

5. По кругу в каком-то порядке выписаны числа от 1 до 88.
Какова минималь-

но возможная сумма модулей разностей между соседними
числами?

6. На продажу выставлены 20 книг по цене от 7 до 10 евро и
20 обложек

по цене от 10 центов до 1 евро, причём все цены разные.
Смогут ли Том и

Леопольд купить по книге с обложкой, заплатив одну и ту же
сумму денег?