Найти неопределенный интеграл xdx/x^2-6x+5

Int x dx / (x^2 - 6x + 5) = Int 1/2*(2x dx) / (x^2 - 6x + 5) =

= 1/2*Int (2x - 6 + 6) dx / (x^2 - 6x + 5) =

= 1/2*[ Int (2x - 6) dx / (x^2 - 6x + 5) + Int 6 dx / (x^2 - 6x + 5) ] = L

|Замена x^2 - 6x + 5 = y; dy = (2x - 6) dx|

L = 1/2*[ Int dy/y + 6*Int dx / (x^2 - 6x + 5)] = 1/2*Int dy/y + 3*Int dx / (x^2 - 6x + 5)

Дальше решаем интегралы по отдельности.

1) Int dy / y = ln |y| = ln |x^2 - 6x + 5| = ln |(x-1)(x-5)|

Если непонятно - это логарифм, под ним модуль, а под модулем произведение.

2) Int dx / (x^2 - 6x + 5) = Int dx / ((x-1)(x-5))

Этот интеграл можно решить методом неопределённых коэффициентов.

1/((x-1)(x-5)) = A/(x-1) + B/(x-5) = [A(x-5) + B(x-1)] / ((x-1)(x-5)) =

= [(A+B)*x + (-5A-B)] / ((x-1)(x-5))

{ A + B = 0

{ -5A - B = 1

Решаем:

{ B = -A

{ -5A + A = 1

A = -1/4; B = 1/4

Получаем:

Int dx / (x^2 - 6x + 5) = 1/4*Int (-1/(x-1) + 1/(x-5)) dx = 1/4*ln | (x-5)/(x-1) |

Если непонятно - это логарифм, под ним модуль, а под модулем дробь.

Возвращаемся к исходному интегралу:

L = 1/2*ln | (x-1)(x-5) | + 3/4*ln | (x-5)/(x-1) | + C