Две окружности касаются извне .При этом, они изнутри касаются третьей окружном. Найдите диаметр этой третьей окружности, если радиус каждой внутренней окружности 7,8 см и все три центра лежат на одной прямой.

а) Пусть АВ — диаметр большей из трёх окружностей, О — её центр, O₁ — центр окружности радиуса r у касающейся окружности с диаметром АВ в точке А, O₂ — центр окружности радиуса R, касающейся окружности с диаметром АВ в точке С, окружности с центром O₁ — в точке D, отрезка АВ — в точке Е. Точки О, O₂ и С лежат на одной прямой, поэтому OO₂ = ОС − O₂С = ОС − R. Аналогично ОО₁ = OA − О₁А = ОА − r и O₁O₂ = O₁D + O2D = r + R. Следовательно, периметр треугольника OO₁O₂ равен

б) Пусть OA = 6, r = 2. Тогда получаем: O₂Е = R, O₁O₂ = 2 + R, OO₁ = OA − О₁А = 6 − 2 = 4, OO₂ = ОС − O₂С = 6 − R. Из прямоугольных треугольников O₁O₂Е и OO₂Е находим, что

а так как О₁E = OO₁ + ОЕ, то  Из этого уравнения находим, что R = 3 (это значит, что диаметр искомой окружности равен радиусу наибольшей из трёх окружностей, то есть точка Е совпадает с О).

Ответ: 3.