На доске написаны числа 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0. Разрешается к любым двум записанным числам прибавить одно и то же натуральное

Нет. Сумма всех чисел нечетна. При прибавлении она будет оставаться нечетной, а чтобы все числа стали равны, она должна быть четной.