F(x)=1/3x^3-x^2 Xo=1

Уравнение касательной к графику функции, проходящей через точку x₀ имеет вид:
у = f(x₀) + f\'(x₀)·(x - x₀).
В нашем случае x₀ = 1, функция имеет вид f(x) = 1/3x^3 - x^2.
1) найдём значение f(x₀ ):
f(x₀) = 1/3 * 1^3 - 1^2 = 1/3 - 1 = -2/3.
2) найдём производную f\'(x):
f\'(x) = (1/3х^3)\' - (х^2)\' = 1/3 * 3 * х^2 - 2 * х = х^2 - 2x.
3) вычислим значение производной в точке x₀:
f\'(x₀) = f\'(1) = 1^2 - 2*1 = 1 - 2 = -1.
4) запишем уравнение касательной, подставив в формулу полученные значения:
у = -2/3 - 1*(х - 1) = -2/3 - х + 1 = 1/3 - х.
у = 1/3 - х.
Ответ: уравнение касательной к графику функции f(x) = 1/3x^3 - x^2, проходящей через точку x₀ = 1, имеет вид у = 1/3 - х.