Найдите наименьшее значение выражения: 11sin^2α+9cos^2α+8sin^4α+2cos^4α

Упростим данное выражение, используя тождество sin^2α+cos^2α = 1:11sin^2α + 9cos^2α + 8sin^4α + 2cos^4α = 2sin^2α + 9sin^2α + 9cos^2α + 8sin^4α + 2cos^4α = 9 + 2sin^2α + 8sin^4α + 2cos^4α = 9 + 2sin^2α + 8sin^4α + 2(1 - sin^2α)^2 = 9 + 2sin^2α + 8sin^4α + 2(1 - 2sin^2α + sin^4α) = 9 + 2sin^2α + 8sin^4α + 2 - 4sin^2α + 2sin^4α = 11 + 10sin^4α - 2sin^2α.Сделаем подстановку sin^2α = t, тогда полученное выражение станет равным 10t^2 - 2t + 11. Найдем производную функции f(t) = 10t^2 - 2t + 11:f\'(t) = 20t - 2.Производная обращается в ноль при t = 0.1. При t < 0.1 производная f\'(t) меньше нуля, следовательно, функция f(t) = 10t^2 - 2t + 11 убывает при t < 0.1.При t > 0.1 производная f\'(t) больше нуля, следовательно, функция f(t) = 10t^2 - 2t + 11 возрастает при t > 0.1.Таким образом, при t = 0.1 функция f(t) = 10t^2 - 2t + 11 принимает наименьшее значение. Следовательно, преобразованное исходное выражение 11 + 10sin^4α - 2sin^2α принимает наименьшее значение при sin^2α = 0.1 и это наименьшее значение равно 11 + 10*(0.1)^2 -2*0.1 = 11 + 0.1 - 0.2 = 11 - 0.1 = 10.9.Ответ: наименьшее значение выражения: 11sin^2α+9cos^2α+8sin^4α+2cos^4α равно 10.9.