В треугольнике АВС АВ=14 см ,АС=15см, ВС=13 см. 1) Найдите длину меньшей высоты треугольника 2) Площадь треугольника

Найдем площадь треугольника по формуле Герона.Полупериметр:р = (14 + 15 + 13)/2 = 42/2 = 21.S = √21*(21 – 14)(21 – 15)(21 – 13) = √21*7*6*8 = √7056 = 84 (см^2).1. Меньшей высотой треугольника является та высота, которая проведена к большей стороне, поэтому высота ВН, проведенная к стороне АС, - меньшая.Длина высоты вычисляется по формуле:h = 2S/a,где а – сторона, к которой проведена высота.ВН = 2*84/15 = 168/15 = 11,2 (см).2. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, тогда:BD/DC = AB/AC;BD + DC = ВС.Система уравнений:BD/DC =14/15;BD + DC = 13.Во втором уравнении выразим BD через DC:BD = 13 – DC.Полученное выражение подставим в первое уравнение системы:(13 – DC)/DC =14/15.По пропорции:15(13 – DC) = 14 DC;195 - 15DC = 14 DC;29DC = 195;DC = 195/29 см.Используя значение DC, найдем BD:BD = 13 – 195/29 = (377 – 195)/29 = 182/29 (см).Биссектриса АD делит треугольник АВС на два треугольника, площади которых пропорциональны отрезкам, на которые биссектриса делит сторону, на которую она опущена. Тогда:SADB / SADC = BD/DC;SADB / SADC = 182/29 : 195/29 = 182/29 * 29/195 = 182/195.Сумма площадей треугольников SADB и SADC будет равна сумме исходного треугольника АВС:SADB + SADC = 84.Система уравнений:SADB / SADC = 182/195;SADB + SADC = 84.Во втором уравнении выразим SADB через SADC:SADB = 84 – SADC.Полученное выражение подставим в первое уравнение системы:(84 – SADC)/SADC = 182/195.По пропорции:195(84 – SADC) = 182SADC;16380 - 195SADC = 182SADC;182SADC + 195SADC = 16380;377SADC = 16380;SADC = 16380/377;SADC = 1260/29 = 43 целых 13/29 (см^2).3. Медиана треугольника находится по формуле:m = ½ √(2b^2 + 2c^2 – a^2),где а – сторона треугольника, к которой проведена медиана, b и c – другие стороны.АЕ = ½ √(2* АС^2 + 2* АВ^2 – ВС^2);АЕ = ½ √(2* 15^2 + 2* 14^2 – 13^2) = ½ √(2* 225 + 2* 196 – 169) = ½ √(450 + 392 – 169) = √(673) / 2 (см).Ответ: ВН = 11,2 см, SADC = 43 целых 13/29 см^2, АЕ = √(673) / 2 см.