• Решить неравенство (4^x-2^(x+3)+7)/(4^x-5⋅2^x+4)≤(2^x-9)/(2^x-4)+1/(2^x+6)

Ответы 1

  • (4^x - 2^(x + 3) + 7)/(4^x - 5 * 2^x + 4) ≤ (2^x - 9)/(2^x - 4) + 1/(2^x + 6).

    1) Преобразуем первую дробь:

    ((2^x)^2 - 8 * 2^x + 7)/((2^x)^2 - 5 * 2^x + 4) ≤ (2^x - 9)/(2^x - 4) + 1/(2^x + 6).

    2) Произведем замену: пусть 2^x = а (а > 0).

    (а^2 - 8а + 7)/(а^2 - 5а + 4) ≤ (а - 9)/(а - 4) + 1/(а + 6).

    3) Разложим на множители а^2 - 8а + 7:

    Подберем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: х1 + х2 = 8; х1 * х2 = 7.

    Корни равны 1 и 7. Значит, а^2 - 8а + 7 = (а - 1)(а - 7).

    4) Разложим на множители а^2 - 5а + 4:

    Подберем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: х1 + х2 = 5; х1 * х2 = 4.

    Корни равны 1 и 4. Значит, а^2 - 5а + 4 = (а - 1)(а - 4).

    5) Получается неравенство:

    (а - 1)(а - 7)/(а - 1)(а - 4) ≤ (а - 9)/(а - 4) + 1/(а + 6).

    Скобка (а - 1) сокращается (а не равно 1).

    (а - 7)/(а - 4) ≤ (а - 9)/(а - 4) + 1/(а + 6).

    6) Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

    (а - 7)/(а - 4) - (а - 9)/(а - 4) - 1/(а + 6) ≤ 0;

    ((а - 7)(а + 6) - (а - 9)(а + 6) - (а - 4))/(а - 4)(а + 6) ≤ 0;

    Раскрываем скобки и подводим подобные члены:

    (а^2 - 7а + 6а - 42 - а^2 + 9а - 6а + 54 - а + 4)/(а - 4)(а + 6) ≤ 0;

    (а + 16)/(а - 4)(а + 6) ≤ 0.

    7) Решим неравенство методом интервалов:

    а + 16 = 0; а = -16.

    а - 4 = 0; а = 4.

    а + 6 = 0; а = -6.

    Отмечаем на числовой прямой точки -16, -6 и 4, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

    (-) -16 (+) -6 (-) 4 (+).

    Так как а > 0, то интервалы будут такие: 0 (-) 4 (+).

    Так как знак неравенства ≤ 0, то ответом будут интервалы, где стоит знак (-).

    То есть (0; 4].

    Значит а > 0 и а ≤ 4.

    8) Возвращаемся к замене 2^x = а:

    2^x > 0; х - любое число.

    2^x ≤ 4; 2^x ≤ 2^2; x ≤ 2.

    Ответ: х принадлежит промежутку (-∞; 2).

     

    • Автор:

      angelcjbn
    • 4 года назад
    • 0
  • Добавить свой ответ

Войти через Google

или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years