Периметр осевого сечения конуса равен 72, высота равна 24. Вычислите объём конуса.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого являются образующими конуса, а основание — диаметром основания.1. Пусть △ ASB (SA = SB) — осевое сечение конуса. SH = 24 — высота △ ASB. Высота △ASB и высота конуса совпадают. Так как △ ASB — равнобедренный, то SH является и высотой, и медианой, значит AH = BH = AB / 2.Из △ AHS по теореме Пифагора найдем гипотенузу SA:SA = √ (AH² + SH²) = √ ((AB / 2)² + 24²) = √ (AB² / 4 + 576) = √ (AB² + 2304) / 2.Так как SA = SB, то SB = √ (AB² + 2304) / 2.2. По условию периметр осевого сечения конуса равен 72, тогда:SA + SB + AB = 72.Подставим вместо SA и SB их выражения через AB:√ (AB² + 2304) / 2 + √ (AB² + 2304) / 2 + AB = 72;2 * (√ (AB² + 2304) / 2) + AB = 72;√ (AB² + 2304) / 2 = 72 - AB.Возведем обе части уравнения в квадрат:AB² + 2304 = 5184 - 144 * AB + AB² (приведем подобные);144 * AB = 5184 - 2304;144 * AB = 2880;AB = 2880 / 144;AB = 20.3. Таким образом, диаметр окружности в основании конуса равен 20, тогда его площадь будет равна:S = π * (d /2)² = π * (20 /2)² = π * 10² = 100π.4. Объем конуса равен:V = SH / 3,где S — площадь основания конуса, H — длина высоты конуса.V = (100π * 24) / 3 = 100π * 8 = 800π.Ответ: V = 800π.