При каких значениях а уравнение ах=х-2(по модулю)имеет хотя бы одно решение?

   Рассмотрим два случая для уравнения:

      ах = |х - 2|.

• ах = - х + 2;
• ах + x = 2;
• (а + 1)х = 2; (1)

   a) при нулевом значении первого коэффициента получим неверное равенство:

• a + 1 = 0;
• a = -1;
• 0 * x = 2,

следовательно, уравнение в этом случае не имеет решения.

   b) при a ≠ -1 уравнение (1) будет иметь решение при условии:

• x = 2/(a + 1) < 2;
• 1/(a + 1) < 1;
• 1/(a + 1) - 1 < 0;
• (1 - a - 1)/(a + 1) < 0;
• -a/(a + 1) < 0;
• a/(a + 1) > 0;
• a ∈ (-∞; -1) ∪ (0; ∞).

• ах = х - 2;
• ах - х = - 2;
• (а - 1)х = - 2. (2)

   a) при нулевом значении первого коэффициента получим неверное равенство:

• a - 1 = 0;
• a = 1;
• 0 * x = -2,

следовательно, уравнение в этом случае не имеет решения.

   b) при a ≠ 1 уравнение (2) будет иметь решение при условии:

• x = -2/(a - 1) ≥ 2;
• -1/(a - 1) ≥ 1;
• -1/(a - 1) - 1 ≥ 0;
• -a/(a - 1) ≥ 0;
• a/(a - 1) ≤ 0;

   a ∈ [0; 1).

   Объединение решений для двух случаев:

      a ∈ ((-∞; -1) ∪ (0; ∞)) ∪ [0; 1);

      a ∈ (-∞; -1) ∪ [0; ∞).

Ответ: a ∈ (-∞; -1) ∪ [0; ∞).