Сколько корней имеет уравнение sin x • sin 7x = sin 3x • sin 5x, если x €[0;2]

Определим количество  корней уравнения sin x • sin (7 * x) = sin (3 * x) • sin (5 * x), если x €[0; 2]. 

sin x • sin (7 * x) = sin (3 * x) • sin (5 * x); 

1/2 * (cos (x - 7 * x) - cos (x + 7 * x)) = 1/2 * (cos (3 * x - 5 * x) - cos (3 * x + 5 * x)); 

1/2 * (cos (- 6 * x) - cos (8 * x)) = 1/2 * (cos (- 2 * x) - cos (8 * x));  

1/2 * (cos (- 6 * x) - cos (8 * x)) - 1/2 * (cos (- 2 * x) - cos (8 * x)) = 0;  

1/2 * (cos (6 * x) - cos (8 * x)) - 1/2 * (cos (2 * x) - cos (8 * x)) = 0;  

1/2 * cos (6 * x) - 1/2 * cos (8 * x) - 1/2 * cos (2 * x) + 1/2 * cos (8 * x) = 0; 

1/2 * cos (6 * x) - 1/2 * cos (2 * x) = 0; 

1/2 * (cos (6 * x) - cos (2 * x)) = 0; 

1/2 * (- 2) * sin (6 * x + 2 * x)/2 * sin (6 * x - 2 * x)/2 = 0; 

-  sin (8 * x)/2 * sin (4 * x)/2 = 0;  

- sin (4 * x) * sin (2 * x) = 0; 

1) sin (4 * x) = 0;  

4 * x = pi * n, где n принадлежит Z; 

x = pi * n/4, где n принадлежит Z; 

2) sin (2 * x) = 0;  

2 * x = pi * n, где n принадлежит Z; 

x = pi * n/2, где n принадлежит Z;  

Ответ: x = pi * n/4 и x = pi * n/2, где n принадлежит Z.