4cos3x-cos6x=4cos9x-cos18x

http://bit.ly/2rdxa2y, http://bit.ly/2rOJkBJ,http://bit.ly/2r4JL9w4cos3x - cos6x = 4cos9x - cos18x,4cos3x - 4cos9x = cos6x - cos18x.4(cos3x - сos9x) = cos6x - cos18x.1. Разность косинусов преобразуем по формуле разности тригонометрических функций:cosA - cosB = -2sin[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2].В нашем выражении (cos3x - cos9x) А = 3х, В = 9х; в выражении (cos6x - cos18x) А = 6х, В = 18х.Следовательно, проучим:4 *(-2)sin[(3x+9x)/2]*sin[(3x-9x)/2] = -2sin[(6x+18x)/2]*sin[(6x-18x)/2],-8sin6x*(-sin3x) = -2sin12x*(-sin6x),8sin6xsin3x = 2sin12xsin6x,4sin6xsin3x = sin12xsin6x,4sin6xsin3x - sin12xsin6x = 0,sin6x(4sin3x - sin12x) = 0,1) sin6x = 0,6x = Пк,х = Пк/6.2) 4sin3x - sin12x = 0,2. Выразим sin12x через формулу двойного аргумента:sin2x = 2sinxcosx. В нашем случае вместо 2х имеем аргумент 12х, значит аргумент х будет равен 6х, то есть sin12x = 2sin6xcos6x.Следовательно, получим:4sin3x - 2sin6xcos6x = 0,3. Выразим sin6x по формуле двойного аргумента как 2sin3xcos3x и полставки в наше уравнение. Получим:4sin3x - 2 * 2sin3xcos3x * соs6x = 0,4sin3x - 4sin3xcos3xсоs6x = 0,4. Вынесем за скобки общий множитель 4sin3x:4sin3x(1 - cos3xcos6x) = 0,1) 4sin3x = 0,sin3x = 0,x = Пк/3.2) 1 - cos3xcos6x = 0,Заменим cos6x по формуле двойного аргумента:cos2x = 2cos^2(x) - 1. В нашем случае вместо аргумента 2х имеем аргумент 6х, значит аргумент х заменим на 3х:1 - cos3x(2cos^2(3x) - 1) = 0,Выразим cos3x через t:1-t(2t^2 - 1) = 0,2t^3 - t - 1 = 0,(t - 1)(2t^2 + 2t + 1) = 0,1) t -1 = 0,t = 0.2) 2t^2 + 2t + 1 = 0,D = -4<0, значит решений нет.Вернёмся к замене cos3x= t:cos3x = 1,X = 2Пк/3.Проучим три корня:Х1 = Пк/6,Х2 = Пк/3,Х3 = 2Пк/3.Отметим полученные значения на тригонометрическом круге. Видим, что х1 = Пк/6 содержит все остальные решения.Ответ: х = Пк/6, к е Z.