32 sin^2(70) sin^2 (50) sin10

Сначала применим полезную формулу. 4 · sin (60⁰ + α) · sin (60⁰ - α) · sin α = sin 3α.То есть, 4 · sin(60⁰ + 10⁰) · sin (60⁰ - 10⁰) · sin 10⁰ = sin 30⁰ = 1/2.Иначе говоря, 4 · sin(70⁰) · sin (50⁰) · sin 10⁰ = sin 30⁰ = 1/2.Подставим это значение в исходное выражение.32 sin²(70⁰) sin² (50⁰) sin(10⁰) = 8 · sin(70⁰) · sin (50⁰) · 1/2 = 4 · sin(70⁰) · sin (50⁰). Далее используем формулу \"разность косинусов\". cos α - cos β = - 2· sin((α+β)/2) · sin ((α - β)/2).Тогда продолжаем преобразования:4 · sin (70⁰) · sin (50⁰) = - 2 · (cos 120⁰ - cos 20⁰ ).Используем тот факт, что cos 120⁰ = - 1/2. Получаем, что исходное выражение равно:32 sin²(70⁰) sin² (50⁰) sin (10⁰) = 1 + 2 cos 20⁰.По сути, это уже ответ, так как число cos 20⁰ иррациональное. Приближённое значение cos 20⁰ можно найти в так называемых \"таблицах Брадиса\" (Брадис Владимир Модестович, в 1921 году впервые вышли его «Таблицы четырёхзначных логарифмов и натуральных тригонометрических величин», позднее издававшиеся под названием «Четырёхзначные математические таблицы»). cos 20⁰ = 0.9397...Точное значение можно выписать через бесконечный ряд.cos 20⁰ = cos (π/9) = 1 - ((π/9)²)/(2!) + ((π/9)⁴)/(4!) - ((π/9)⁶)/(6!) +...Попытки выписать значение cos 20⁰ в радикалах (с использованием корней) совершаются и совершались в разные времена лучшими математиками. На данный момент эта задача решена в рамках Теории комплексных чисел.Ответ: 32 sin²(70⁰) sin² (50⁰) sin (10⁰) = 1 + 2 cos 20⁰ = 3 - 2((π/9)²)/(2!) + 2((π/9)⁴)/(4!) - 2((π/9)⁶)/(6!) +...