Существует ли такое натуральное число, которое при делении на 8 даёт остаток 1, а при делении на 12 даёт остаток 3?

Покажем, что такого быть не может.Воспользуемся методом доказательства от противного.Предположим, что существует такое натуральное число а, которое при делении на 8 даёт остаток 1, а при делении на 12 даёт остаток 3.Если число а при делении на 8 даёт остаток 1, то число а можно представить в виде:а = 8 * n + 1,где n - некоторое целое число.Если а при делении на 13 даёт остаток 3, то число а можно представить в виде:а = 12 * k + 3,где k - некоторое целое число.В таком случае должно выполняться равенство:8 * n + 1 = 12 * k + 3.Преобразуем полученное соотношение:8 * n - 12 * k = 3 - 1;8 * n - 12 * k = 2;2 * (4 * n - 6 * k) = 2:4 * n - 6 * k = 2 / 2;4 * n - 6 * k = 1;2 * (2 * n - 3 * k) = 1.Поскольку n и k это целые числа, то слева в полученном соотношении стоит четное число, а справа нечетное.Мы пришли к противоречию, следовательно, натуральное число, которое при делении на 8 даёт остаток 1, а при делении на 12 даёт остаток 3, не существует.