Из натуральных чисел от 1 до 16 выбрали 8 чисел таких, что никакие два выбранных числа не дают в сумме 17. Сумма выбранных

   1. Числа от 1 до 16 представим в виде:

• x[n] = 8,5 + k(n)/2, где
• k[n] = ±(1 + 2n), n = 0, 1, ... , 6, 7;
• k[n] = ±1, ±3, ±5, ±7, ±9, ±11, ±13, 15.

   2. Среди восьми выбранных чисел не должны быть числа с равными абсолютными значениями для k[n]:

      |ki| ≠ |kj|, если i ≠ j.

   Следовательно, среди них все значения n от 0 до 7 присутствуют.

   3. Для суммы квадратов восьми чисел xi получим:

• S = (8,5 + k0/2)^2 + (8,5 + k1/2)^2 + ... + (8,5 + k7/2)^2;
• S = 8 * 8,5^2 + 2 * 8,5 * 1/2 * (k0 + k1 + ... + k7) + 1/4 * (k0^2 + k1^2 + ... + k7^2);
• S = 2 * 17^2 + 8,5 * S1 + 1/4 * S2.
• S = 578 + 8,5 * S1 + 1/4 * S2, (1) где

• S1 = k0 + k1 + ... + k7;
• S2 = k0^2 + k1^2 + ... + k7^2.

   4. Поскольку сумма выбранных чисел равна 68, то для S1 получим:

• x0 + x1 + ... + x7 = 68;
• (8,5 + k0/2) + (8,5 + k1/2) + ... + (8,5 + k7/2) = 68;
• 8 * 8,5 + 1/2(k0 + k1 + ... + k7) = 68;
• 68 + 1/2 * S1 = 68;
• S1 = 0.

   5. Вычислим также значение S2:

• S2 = k0^2 + k1^2 + ... + k7^2;
• S2 = 1^2 + 3^2 + ... 13^2 + 15^2 = 680.

   6. Подставив значения S1 и S2 в уравнение (1), найдем значение для S:

• S = 578 + 8,5 * S1 + 1/4 * S2;
• S = 578 + 8,5 * 0 + 1/4 * 680 = 578 + 170 = 748.

   Как видим, искомая сумма не зависит от выбора восьми чисел и имеет постоянное значение: 748.

   Ответ: 748.