Найдите какую-нибудь пару натуральных чисел a и b, больших 1, удовлетворяющих уравнению a^13*b^31=6^2015

      a^13 * b^31 = 6^2015. (1)

   1. В правой части уравнения (1) имеем число:

      6^2015 = (2 * 3)^2015 = 2^2015 * 3^2015,

которое содержит только два простых множителя: 2 и 3.

   Из этого следует, что числа a и b также должны содержать только эти два множителя, следовательно, их можем представить в виде:

• a = 2^m * 3^n;
• b = 2^k * 3^l.

   2. Подставим значения a и b в уравнение (1):

      (2^m * 3^n)^13 * (2^k * 3^l)^31 = 6^2015;

      2^(13m + 31k) * 3^(13n + 31l) = 2^2015 * 3^2015;

      {13m + 31k = 2015;      {13n + 31l = 2015.

      {13m + 31k = 5 * 13 * 31;      {13n + 31l = 5 * 13 * 31.

   3. Для обоих уравнений подойдет, например, одно и то же решение:

• m = n = 62;
• k = l = 39;
• a = 2^m * 3^n = 2^62 * 3^62;
• b = 2^k * 3^l = 2^39 * 3^39.

   4. Проверим:

      a^13 * b^31 = (2^62 * 3^62)^13 * (2^39 * 3^39)^31 = 2^806 * 3^806 * 2^1209 * 3^1209 =  2^2015 * 3^2015 = 6^2015.

   Ответ:

      a = 2^62 * 3^62;

      b = 2^39 * 3^39.