В классе каждый ученик — либо болтун, либо молчун, причем каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном. Болтун молчит,

Докажем утверждение индукцией по числу n учеников в классе.Для n = 3 утверждение очевидно.Предположим, что оно верно при n ≤ N. Пусть n = N + 1.Утверждение верно, если в классе ровно один молчун. Пусть их не менее двух.Выделим молчуна A и его друзей — болтунов B1, … ,Bk.Для оставшихся n – 1 – k/2 учеников утверждение верно, т.е. можно выделить группу M, в которой каждый болтун дружит с нечётным числом молчунов и в M входит не менее учеников.Предположим, что болтуны B1, … ,Bm дружат с нечётным числом молчунов из M, а Bm + 1, … ,Bk — с чётным числом.Тогда, если,m больше k+1/2 то добавим к группе M болтунов B1, … ,Bm,а если,m меньше k+1/2 то добавим к группе M болтунов Bm + 1, … ,Bk и молчуна A.В обоих случаях мы получим группу учеников, удовлетворяющую условию задачи.