Решите неравенство: 2^(x/(x+1))-2^((5x+3)/(x+1))+8≤2^((2x)/(x+1))

   1. Обозначим:

      z = 2^(x / (x + 1)).

   Тогда получим:

      2^(2x / (x + 1)) = z^2;

      (5x + 3) / (x + 1) = (3x + 3 + 2x) / (x + 1) = 3 + 2x / (x + 1);

      2^((5x + 3) / (x + 1)) = 2^(3 + 2x / (x + 1)) = 8 * 2^(2x / (x + 1)) = 8 * z^2.

   2. Подставив значения этих выражений, получим уравнение:

      z - 8z^2 + 8 ≤ z^2;

      9z^2 - z - 8 ≥ 0;

      D = 1 + 4 * 9 * 8 = 1 + 288 = 289;

      z = (1 ± 17) / 18;

      z1 = (1 - 17) / 18 = -16 / 18 = -8/9;

      z2 = (1 + 17) / 18 = 18 / 18 = 1;

      z ∈ (-∞; -8/9] ∪ [1; ∞);

      [z ≤ -8/9;       [z ≥ 1.

   3. Найдем значения x:

   a) 2^(x / (x + 1)) ≤ -8/9, нет решений.

   b) 2^(x / (x + 1)) ≥ 1;

      x / (x + 1) ≥ 0;

      x ∈ (-∞; -1) ∪ [0; ∞).

   Ответ: (-∞; -1) ∪ [0; ∞).