Меня интересует разложение в ряд Фурье. Если взять произвольные данные и прогнать из через функцию быстрого Фурье преобразования, то в результате мы получаем ряд комплексных чисел. Не пойму, как от комплексных чисел перейти к конкретным функциям описывающим первую и последующие гармоники?

При применении основного алгоритма дискретное преобразование Фурье может быть выполнено за {\displaystyle O(N(p_{1}+\cdots +p_{n}))} действий при {\displaystyle N=p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}, в частности, при {\displaystyle N=2^{n}} понадобится {\displaystyle O(N\log(N))} действий.

Дискретное преобразование Фурье преобразует набор чисел {\displaystyle a_{0},\dots ,a_{n-1}} в набор чисел {\displaystyle b_{0},\dots ,b_{n-1}}, такой, что {\displaystyle b_{i}=\sum _{j=0}^{n-1}a_{j}\varepsilon ^{ij}}, где {\displaystyle \varepsilon } — первообразный корень из единицы, то есть {\displaystyle \varepsilon ^{n}=1} и {\displaystyle \varepsilon ^{k}eq 1} при {\displaystyle 0<k<n}. Основной шаг алгоритма состоит в сведении задачи для {\displaystyle N} чисел к задаче с меньшим числом. Для {\displaystyle N=pq,p>1,q>1} над полем комплексных чисел вводятся: {\displaystyle \varepsilon _{u }=e^{2\pi i/u }}, {\displaystyle \varepsilon _{u }^{u }=1}, где {\displaystyle u } — любое число. Дискретное преобразование Фурье может быть представлено в виде {\displaystyle b_{i}=\sum _{k=0}^{p-1}\sum _{j=0}^{q-1}a_{kq+j}\varepsilon _{N}^{(kq+j)i}}. (Эти выражения могут быть легко получены, если исходную сумму разбить на меньшее число сумм с меньшим числом слагаемых, а после полученные суммы привести к одинаковому виду путём сдвига индексов и их последующего переобозначения).

.