Число 99...9 | {z } 999 цифр разложили на простые сомножители. Найдите количе- ство сомножителей, равных 3, в этом разложении.

Число z = 999...999 содержит в своей записи 999 цифр. Рассмотрим аналогичные числа, содержащие в своей записи одни девятки.1 ) 9 = 3 * 3 = 3^2 ;2 ) 99 = 9 * 11 = 11 * 3 * 3 ; Здесь 11 — простое число, на множители не раскладывается.3 ) 999 = 9 * 111 = 9 * ( 3 * 37 ) = 37 * 3 * 3 * 3 ; Здесь 37 — простое число. Число 111 разложилось на произведение 111 = 3 * 37 , так как выполнился признак делимости на 3 , — сумма цифр 1 + 1 + 1 = 3 делится на 3 .4 ) 9999 = 9 * 1111 = 9 * 11 * 101 = 11 * 101 * 3 * 3 ; Здесь 11 и 101 — простые числа, а число 1111 = 11 * 101 называется полупростым.5 ) 99999 = 9 * 11111 = 9 * ( 41 * 271 ) = 41 * 271 * 3 * 3 ; Здесь число 11111 полупростое,раскладывается на произведение простых чисел 11111 = 41 * 271 . Это один из признаков делимости на число 41 .6 ) 999999 = 9 * 111111 = 9 * 111 * 1001 = 9 * ( 3 * 37 ) * ( 7 * 11 * 13 ) =7 * 11 * 13 * 37 * 3 * 3 * 3 ; Здесь выполнился признак делимости на 3 для множителя 111 . По этой причине троек в разложении уже 3 штуки.Рассмотрим теперь число z = 999...999 , которое содержит в своей записи 999 цифр.z = 999...999 = 9 * 111...111 ; Здесь в записи 999 штук единиц, 999 штук разрядов.z = 9 * 111...111 = 9 * 111 * 1001001...001001 .Множитель 1001001...001001 содержит 997 разрядов, и в записи числа 996 разрядов можно разбить на 332 группы по 3 цифры, начиная справа, 001, плюс дополнительная единица старшего разряда слева.Сумма цифр такого множителя 333 , следовательно, этот множитель кратен 3 , можно выделить число 3 при его разложении.Очевидно, что из него можно выделить множитель 1001001 , который кратен 3, так как его сумма цифр делится на 3 . Это он и даёт делимость на 3 .1001001 = 3 * 333667 , множитель 333667 делимостью на 3 не обладает.Получаем:z = 9 * 111 * 1001001...001001 =9 * 111 * 1001001* 1000000001000000001...000000001000000001 =9 * ( 3 * 37 ) * ( 3 * 333667 ) * 1000000001000000001...000000001000000001 .Последний множитель содержит 991 разряд. В его написании можно выделить 110 группцифр по 9 штук, начиная справа, 000000001 , плюс дополнительно единица старшегоразряда слева. Сумма цифр такого числа 111 .Следовательно, этот множитель обладает делимостью на 3 . Очевидно, из него можно выделить множитель 1000000001000000001 , который как раз и даёт делимость на 3 , так как сумма его цифр делится на 3 . Он имеет 19 разрядов.1000000001000000001 = 3 * 333333333666666667 .Множитель 333333333666666667 делимостью на 3 не обладает.z = 9 * 3 * 3 * 3 * 37 * 333667 * 333333333666666667 * 1000000000000000000000000001000000000000000000000000001...1 .Последний множитель имеет 991 - 19 + 1 = 973 разряда. Поэтому он имеет 36 групп по 27 разрядов вида 000000000000000000000000001 и плюс дополнительно единица старшегоразряда слева. Сумма цифр такого множителя 37 . Он не обладает делимостью на 3 .Итоговое разложение:z = ( 3^5 ) * 37 * 333667 * 333333333666666667 * 1000000000000000000000000001...1000000000000000000000000001 .Ответ: Число z = 999...999 , которое содержит в своей записи 999 цифр, в разложении намножители имеет пятую степень тройки, ( 3^5 ).