При каких значениях параметра p, неравенство ( p− 2)x^2 + (5p − 7)x +p + 4 > 0 Верно при всех значениях x?

(p − 2)x^2 + (5p − 7)x + p + 4 > 0.

Рассмотрим функцию у = (p − 2)x^2 + (5p − 7)x + p + 4. Это квадратичная парабола. Чтобы значение у было > 0, нужно, чтобы выполнялось два условия: чтобы коэффициент а был больше 0 и не было пересечений с осью х.

1) Коэффициент а равен р - 2.

р - 2 > 0; р > -2.

2) Чтобы не было точек пересечения с осью х, дискриминант должен быть меньше нуля.

(p − 2)x^2 + (5p − 7)x + p + 4 = 0.

D = (5p − 7)^2 - 4(p − 2)(p + 4) = 25p^2 - 70p + 49 - 4(p^2 + 2p - 8) = 25p^2 - 70p + 49 - 4p^2 - 8p + 32 = 21p^2 - 78p  + 81 < 0.

Рассмотрим функцию у = 21p^2 - 78p  + 81 (кв.парабола, ветви вверх).

Найдем нули функции: 21p^2 - 78p  + 81 = 0. D = 676 - 756 = -80. Нет точек пересечения с осью х, так как неравенство имеет знак < 0, нет решения.

Ответ: р принадлежит промежутку (-2; +∞).