2^x*5^x=0.1(10^x-1)^5

Решим уравнение 2 ^ x * 5 ^ x = 0.1 * (10 ^ (x – 1)) ^ 5 

Для решения уравнения, используем свойства степеней:

• a ^ x * b ^ x = (a * b) ^ x;
• (a ^ x) ^ y = a ^ (x * y);
• A ^ x * a ^ y = a ^ (x + y);
• A ^ x/a ^ y = a ^ (x – y).

2 ^ x * 5 ^ x = 0.1 * (10 ^ (x – 1)) ^ 5;

(2 * 5) ^ x = 0.1 * (10 ^ (x – 1)) ^ 5;

10 ^ x = 0.1 * (10 ^ (x – 1)) ^ 5;

10 ^ x = 10 ^ (- 1) * (10 ^ (x – 1)) ^ 5;   

10 ^ x = 10 ^ (- 1) * 10 ^ (5 * (x – 1));

10 ^ x = 10 ^ (- 1 + 5 * (x – 1));

Если основания равны, то приравниваются их степени. То есть получаем:

X = (- 1 + 5 * (x – 1));

Сначала раскрываем скобки. Если перед скобками стоит знак минус, то при ее раскрытии, знаки значений меняются на противоположный знак. Если же перед скобками стоит знак плюс, то при ее раскрытии знаки значений остаются без изменений. То есть получаем:

X = - 1 + 5 * (x – 1);

Раскрываем скобки. Для этого значение перед скобками, умножаем на каждое значение в скобках, и складываем их в соответствии с их знаками. Тогда получаем:

X = - 1 + 5 * x – 5 * 1;

X = - 1 + 5 * x – 5;

X = 5 * x – 6;

Перенесем все значения выражения на одну сторону. При переносе значений, их знаки меняются на противоположный знак. То есть получаем:

5 * x – 6 – x = 0; 

X * (5 – 1) – 6 = 0;

4 * x – 6 = 0;

2 * (2 * x – 3) = 0;

2 * x – 3 = 0;

Получили линейное уравнение в виде 2 * x – 3 = 0 

Для того, чтобы решить уравнение, определим какие свойства имеет уравнение: 

• Уравнение является линейным, и записывается в виде a * x + b = 0, где a и b - любые числа; 
• При  a = b = 0, уравнение имеет бесконечное множество решений;  
• Если a = 0, b ≠ 0, уравнение не имеет решения;
• Если a ≠ 0, b = 0, уравнение имеет решение: x = 0; 
• Если, а и b - любые числа, кроме 0, то корень находится по следующей формуле x = - b/a.  

Отсюда получаем, что a = 2, b = - 3, значит, уравнение имеет один корень. 

x = - (- 3)/2; 

Раскрываем скобки. Так как, перед скобками стоит знак минус, то при ее раскрытии, знаки значений меняются на противоположный знак. То есть получаем: 

x = 3/2;

x = 1.5;

Значит, х = 1.5 является корнем уравнения 2 ^ x * 5 ^ x = 0.1 * (10 ^ (x – 1)) ^ 5.

Левую часть уравнения представим как степень десятки:( 2^x ) * ( 5^x ) = 0,1 * ( 10^( x - 1) )^5 .Учтём отрицательную степень в правой части уравнения:10^x = 1/10 * ( ( 10^x )/10 )^5 .Сгруппируем блоки, содержащие x \"икс\", и блоки, не содержащие переменную:10^x = 1/10 * ( 10^x )^5 * ( 1/10 )^5 ;10^x = ( 10^x )^5 * ( 1/10 )^6 ;( 10^x ) * ( 10^6 )= ( 10^x )^5 ;10^( x +6 ) = 10^( 5 * x ) .Убираем основание 10, находим x:x + 6 = 5 * x ;4 * x = 6 ;x = 3/2 = 1,5 .