Найти наибольшее такое z , что существуют x и y, такие что 4x^2 + 4y^2 + z^2 + xy + yz + xz = 8. Если ответ является

   Нужно найти наибольшее значение z, при котором уравнение

   4x^2 + 4y^2 + z^2 + xy + yz + xz = 8

   имеет решение относительно x и y.

   4x^2 + 4y^2 + z^2 + xy + yz + xz = 8;    (1)

   4y^2 + (x+z)y + 4x^2 + z^2 + xz - 8 = 0;    (2)

   Найдем дискриминант D1:

   D1 = (x+z)^2 - 4*4*(4x^2 + z^2 + xz - 8);

   D1 = x^2 + 2xz + z^2 - 64x^2 - 16z^2 - 16xz + 128;

   D1 = -63x^2 - 15z^2 - 14xz + 128;    (3)

   Уравнение (2) имеет решение при неотрицательных значениях дискриминанта D1:

   D1 >= 0;

   -63x^2 - 15z^2 - 14xz + 128 >= 0.

   Умножим обе стороны неравенства на -1:

   63x^2 + 14zx + 15z^2 - 128 <= 0.    (4)

   D2 = (14z)^2 - 4*63*(15z^2 - 128);

   D2 = 28 * (7z^2 - 9*(15z^2 - 128));

   D2 = 28 * (7z^2 - 135z^2 + 9*128);

   D2 = 28 * (-128Z^2 - 9*128);

   D2 = 28*128*(9 - z^2);

   Так как коэффициент при x^2 положительное число, то неравенство (4) имеет решение в том случае, когда соответствующее уравнение имеет решение, т.е., при неотрицательных значениях D2:

   D2 >= 0;

•  28*128*(9 - z^2) >= 0;
•  9 - z^2 >= 0;
•  z^2 <= 9;

   z E [-3; 3].

   Таким образом, если z принадлежит промежутку [-3; 3], то D2 >= 0, поэтому уравнение (4) будет иметь решение, т.е. найдется такое значение x, при котором D1 >= 0. А из этого, в свою очередь, следует, что уравнение (2) имеет решение относительно y. В результате получаем, что при данных значения z уравнение (2) будет иметь решение относительно x и y.

   А наибольшим значением для промежутка [-3; 3], очевидно, является число 3.

   Ответ: 3.

   1. Умножим уравнение на 4 и выделим квадраты многочленов:

• 4x^2 + 4y^2 + z^2 + xy + yz + xz = 8;
• 16x^2 + 16y^2 + 4z^2 + 4xy + 4yz + 4xz = 32;
• (3x + 3y + 2z/3)^2 + 7(x - y)^2 - 4z^2/9 + 36z^2/9 = 32;
• (3x + 3y + 2z/3)^2 + 7(x - y)^2 + 32z^2/9 = 32;
• (3x + 3y + 2z/3)^2 + 7(x - y)^2 = 32(1 - z^2/9);
• (3x + 3y + 2z/3)^2 + 7(x - y)^2 = 32/9 * (9 - z^2).

   2. При z = 3 получим уравнение, имеющее одно решение:

      (3x + 3y + 2)^2 + 7(x - y)^2 = 0;

• {3x + 3y + 2 = 0;{x - y = 0;
• {3x + 3x + 2 = 0;{y = x;
• {6x = -2;{y = x;
• {x = -1/3;{y = -1/3.

   3. При z > 3 в правой части получим отрицательное число, но сумма квадратов неотрицательна, поэтому уравнение не имеет решение.

   Ответ: 3.