В равнобедренном прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна 5 см. Найдите площадь

    Необходимо найти площадь равнобедренного треугольника АВС при условии, что медиана равна 5 см и проведена из вершины прямого угла. То есть треугольник АВС равнобедренный прямоугольный.

Свойства медианы

   Рассмотрим основные свойства медианы в равнобедренном прямоугольном треугольнике:

1. медиана прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы, то есть делит её пополам;
2. является высотой и биссектрисой треугольника;
3. разбивает треугольник на два равновеликих.

Рассмотрим треугольник АВО

   ∆ АВО является прямоугольным треугольником, так как ВО является и высотой, а значит перпендикулярна АС. В треугольнике АВО:

АО = ВО = 5 см,

угол АОВ = 90 градусов.

Рассмотрим треугольник СВО

   ∆СВО является прямоугольным треугольником, так как ВО является и высотой, а значит перпендикулярна АС. В треугольнике СВО:

СО = ВО = 5 см,

угол СОВ = 90 °

Определим площадь АВС

    Выяснили, что АО = 5 см и СО = 5 см. Значит, АС = АО + СО = 10 см.

Вычислим площадь ∆  АВС по формуле: 

S = 1/2*AC*BO = 1/2 * 10 * 5 = 25 кв.см.

   Можно  найти площадь ∆АВС, в просто воспользовавшись первым свойством медианы прямоугольного треугольника:

ВО = 1/2 *АС, значит АС = 2ВО = 2*5 = 10 см.

Отсюда S∆ABC = 1/2 * 10 * 5 = 25 кв.см.

Ответ: 25 кв.см

http://bit.ly/2wPOe0OИзобразим изображение к условию данной задачи.По условию нам дан равнобедренный прямоугольный треугольник АВС, где стороны треугольника АВ и ВС равны, как равнобедренный, угол В прямой и равен 90 градусов. С вершины В, проведена медиана ВD. Она делит гипотенузу пополам, то есть АD=DC.Тогда BD^2 = 1 / 2 √AB^2 + BC^25^2 = 1 / 2 √2 * AB^225 = 1 / 2 AB √250 = AB √2. Отсюда AB = 50 / √2. Избавимся от иррациональности в знаменатели:АВ = 25 √2 см.Площадь прямоугольного треугольника равна 1 / 2 * АВ * ВС.S = 1 / 2 * 25 √2 * 25 √2 = 25 * 25 = 625 см^2.