В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BE. Известно, что DE ,биссектриса угла ADC. Найдите градусную величину

Точка E равноудалена от прямых AD, BC и AB, поскольку она лежит на биссектрисах DE и BE углов ADC и ABC. Значит, E – центр вневписанной окружности треугольника ADB. Поэтому точка E лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине A треугольника ABD, а так как AD – биссектриса угла BAC, то лучи AE и AD делят развёрнутый угол с вершиной A на три равных угла. Следовательно, каждый из них равен 60°, а ∠A = 120°.http://bit.ly/2h7VBxi

Прежде чем начать решать задачу нарисуем чертеж http://bit.ly/2yKhoRT.

И запишем дано:

Треугольник АВС;

АD, BE — биссектрисы;

Известно, что DE  — биссектриса угла ADC.

Найти: угол A — ?.

Решать задачу будем используя алгоритм:

• используя свойства биссектрис запишем отношение сторон;
• применим теорему синусов;
• преобразуем полученное выражение, используя основное тригонометрическое тождество;
• найдем значение угла А.

Запишем отношение сторон

Вспомним свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника.

Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам.

Запишем для каждой биссектрисы отношения:

AD: BD/AB = DC/AC;

BE: AE/AB = EC/BC;

DC: AE/AD = EC/DC.

Используя основное свойство пропорции перейдем к равенствам:

1) AE * BC = EC * AB;

2) AB * DC = BD * AC;

3) AE * DC = EC * AD.

Применим теорему синусов

Теорема синусов звучит так:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

По теореме синусов для треугольника ABC, запишем равенство:

BC/sin2α = AC/sin2β;

выразим из выражения:

sin2α = (BC * sin2β)/AC;

Для треугольника ABD применим теорему синусов:

AD/sin2β = BD/sinα;

sin2β = (AD * sinα)/BD;

Подставим в равенство полученное ранее для sin2α полученное выражение вместо sin2β:

sin2α = (BC * AD * sinα)/AC * BD;

Преобразуем полученное выражение

Применим основное тригонометрическое тождество:

2sinα * cosα = (BC * AD * sinα)/AC * BD;

cosα = (BC * AD)/2(AC * BD);

Вместо (1) выражения выразим BC = (EC * AB)/AE;

Подставляем:

cosα = (EC * AB * AD)/2(AC * BD * AE);

Из (2) выражения AB * DC = BD * AC;

cosα = (EC * AB * AD)/2(AB * DC * AE) = (EC * AD)/2(DC * AE);

Из (3) выражения AE * DC = EC * AD;

cosα = (EC * AD)/2(DC * AE) = (EC * AD)/2(EC * AD) = 1/2.

Найдем значение угла А

cosα = 1/2;

α = п/3;

А исходя из рисунка угол А = 2α.

угол А = 2п/3;

угол А = 120 градусов.

Ответ: 120 градусов.