Найдите сумму шестидесяти первых членов последовательности (bn), заданной формулой: bn=3n-1

Решим данную задачу, используя понятие арифметической прогрессии.

Для этого:

• покажем, что данная последовательность является арифметической прогрессией;
• найдем первый член и разность этой арифметической прогрессии;
• используя формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии, найдем сумму шестидесяти первых членов данной последовательности.

Решение задачи.

Докажем, что данная последовательность является арифметической прогрессией

Согласно определению, каждый член арифметической прогрессии является суммой предыдущего члена этой прогрессии и некоторого постоянного для всей прогрессии числа d, называемого разностью арифметической прогрессии.

Согласно условию задачи, данная последовательность (bn) задается  формулой: b_n = 3n - 1.

Выразим n+1-й член данной последовательности через n-й:

b_n+1 = 3* (n + 1) - 1 = 3n + 3 - 1 = 3n - 1 + 3 = b_n + 3.

Следовательно, каждый член данной последовательности является суммой предыдущего члена этой последовательности и числа 3, а значит, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью d = 3.

Найдем, чему равен первый член данной последовательности:

b₁ = 3 * 1 - 1 = 3 - 1 = 2.

Найдем сумму шестидесяти первых членов данной последовательности

Воспользуемся формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии Sn = (2 *  b₁ + d * (n - 1)) * n / 2.

Подставляя в данную формулу значения b1 = 2, q = 3 и n = 60, получаем:

Sn = (2 *  b₁ + d * (60 - 1)) * 60 / 2 = (2 *  b₁ + d * 59) * 30 =  (2 * 2 + 3 * 59) * 30 = (4 + 177) * 30 = 181 *30 = 5430.

Ответ: сумма шестидесяти первых членов данной последовательности равна 5430.

Покажем, что данная последовательность является арифметической прогрессией.Найдем разность n+1-го члена bn+1 и n-го члена bn:bn+1 - bn = 3 * (n + 1) - 1 - (3 * n - 1) = 3 * n + 3 - 1 - 3 * n + 1 = 3.Следовательно, каждый член данной последовательности, начиная со второго равен сумме предыдущего члена и числа 3.Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью d = 3 и первым членом b1 = 3 * 1 - 1 = 2.Для нахождения суммы шестидесяти первых членов данной последовательности воспользуемся формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии Sn = (2 * a1 + d * (n - 1)) * n / 2 при n = 60:S60 = (2 * a1 + d * (60 - 1)) * 60 / 2 = (2 * a1 + d * 59) * 30 = (2 * 2 + 3 * 59) * 30 = (4 + 177) * 30 = 181 * 30 = 5430.Ответ: сумма шестидесяти первых членов данной последовательности равна 5430.