Решите уравнение x^2+y^2+10x+6y+34=0

Чтобы решить квадратное уравнение с двумя переменными x^2 + y^2 + 10x + 6y + 34 = 0 преобразуем его.

Составим алгоритм действий:

• выделим в уравнении два полных квадрата;
• проанализируем полученное равенство;
• решим два линейных уравнения;
• сделаем проверку.

Решаем уравнение x^2 + y^2 + 10x + 6y + 34 = 0

Давайте вспомним формулу сокращенного умножения квадрат суммы.

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

Выделим из выражения в левой части два полных квадрата.

x^2 + 2 * x * 5 + y^2 + 2 * y * 3 + (25 + 9) = 0;

(x^2 + 2 * x * 5 + 5^2) + (y^2 + 2 * y * 3 + 3^2) = 0;

(x + 5)^2 + (y + 3)^2 = 0.

Давайте проанализируем полученное уравнение.

После тождественных преобразований мы получили суммы двух квадратов выражений.

Нам известно, что квадрат заведомо не может быть отрицательным числом.

В нашем уравнении сумма должна равняться нулю. 

Сумма может равняться нулю только в том случае, когда оба слагаемых равны нулю.

Перейдем к решению двух линейных уравнений:

1) x + 5 = 0;

переносим в правую часть уравнения слагаемые без переменной, при переносе не забываем менять знак слагаемого на противоположный:

x = - 5;

2) y + 3 = 0;

y = - 3.

Сделаем проверку

Давайте проверим найденные решения.

Подставим в заданное уравнение найденное значение х = - 5 и у = - 3 и проверим получим ли мы верное равенство:

(x + 5)^2 + (y + 3)^2 = 0;

(- 5 + 5)^2 + ( - 3 + 3)^2 = 0;

0^2 + 0^2 = 0;

0 = 0.

Корни найдены верно.

Ответ: х = - 5 и у = - 3  корни уравнения.

Разложим число 34 на сумму чисел 25 и 9, и выделим два полных квадрата суммы:x2+10 х +25 + y2 + 6y + 9 = 0;(х + 5)2 + (у + 3)2 = 0;Любое число в квадрате дает положительное число ⇒(х + 5)2 = 0;х + 5 = 0;х = - 5;(у + 3)2 = 0;у + 3 = 0;у = - 3;Ответ: х = - 5; у = - 3.