Вычислите 48+64+80+ +240

Вычислим значение выражения 48 + 64 + 80 +  … + 240

Данное значение выражения является арифметической прогрессией. 

Для того, чтобы найти значение выражения 48 + 64 + 80 + … + 240, нужно вычислить сумму n первых членов арифметической прогрессии.

Запишем формулы арифметической прогрессии:

• a(n + 1) = an + d – определение арифметической прогрессии;
• d = a(n – 1) – an – разность арифметической прогрессии;
• an = a1 + d * (n – 1) – формула n –ого члена прогрессии;
• Sn = (2 * a1 + d * (n – 1))/2 * n - суммa первых n членов арифметической прогрессии.

Найдем разность арифметической прогрессии:

D = a2 – a1 = 64 – 48 = 16.

Найдем количество значений n арифметической прогрессии

Для того, чтобы найти n, используем формулу n – ого члена арифметической прогрессии, а именно:

an = a1 + d * (n – 1), где a1 = 48, an = 240, d = 16.

Подставим известные значения в формулу и получим:

240 = 48 + 16 * (n – 1);

Раскрываем скобки. Для этого значение перед скобками, умножаем на каждое значение в скобках, и складываем их в соответствии с их знаками. Тогда получаем:

240 = 48 + 16 * n – 16 * 1;

240 = 48 + 16 * n – 16;

240 = 16 * n + (48 – 16);

240 = 16 * n + 32;

Известные значения переносим на одну сторону, а неизвестные на другую сторону. При переносе значений, их знаки меняются на противоположный знак. То есть получаем:

16 * n = 240 – 32;

16 * n = 208;

n = 208/16;

n = (16 * 13)/16;

Числитель и знаменатель в дроби в правой части выражения сокращаем на 16, тогда получим:

n = (1 * 13)/1;

n = 13/1;

n = 13;

Найдем сумму 13 первых членов арифметической прогрессии по формуле  Sn = (2 * a1 + d * (n – 1))/2 * n

Sn = (2 * a1 + d * (n – 1))/2 * n = (2 * 48 + 16 * (13 – 1))/2 * 13;

Сначала в порядке очереди находим значение выражения в скобках, затем вычисляем умножение или деление, потом проводятся действия сложения или вычитания. То есть получаем:

S13 = (2 * 48 + 16 * (13 – 1))/2 * 13 = (2 * 40 + 2 * 8 + 16 * 12)/2 * 13 = (80 + 8 + 10 * 12 + 6 * 12)/2 * 13 = (80 + 8 + 120 + 6 * 10 + 6 * 2)/2 * 13 = (80 + 8 + 120 + 60 + 12)/2 * 13 = (200 + 8 + 12 + 60)/2 * 13 = (200 + 60 + 20)/2 * 13 = (200 + 80)/2 * 13 = 280/2 * 13 = 140 * 13 = 1820.

В итоге получили, что значение выражения 48 + 64 + 80 +  … + 240 = 1 820.

Найдем суму арифметической прогрессии 48 + 64 + 80 + ... + 240;1. Формулы арифметической прогрессии:an = a1 + d * (n - 1);Sn = (a1 + an)/2 * n, где Sn - сумма арифметической прогрессии.2. Найдем n из формулы an = a1 + d * (n - 1), где an = 240, a1 = 48, d = 64 - 48 = 16;240 = 48 + 16 * (n - 1);240 - 48 = 16 * (n - 1);192 = 16 * (n - 1);n - 1 = 192/16;n - 1 = 12;n = 12 + 1;n = 13;3. Найдем Sn из формулы Sn = (a1 + an)/2 * n;Sn = (48 + 240)/2 * 13 = 288/2 * 13 = 144 * 13 = 1872;Ответ: Sn = 1872.