Средняя линия трапеции делит ее площадь в отношении 5:7. найдите отношение оснований трапеции

Для решения данной задачи воспользуемся следующими фактами:

• площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований трапеции и высоты трапеции;
• средняя линия трапеции делит высоту трапеции пополам;
• средняя линия трапеции делит трапецию на две трапеции;
• длина средней линии трапеции равна полусумме оснований трапеции.

Обозначим меньшее основание трапеции через а, большее основание трапеции через b, высоту трапеции через h, а среднюю линию трапеции через m.

Найдем площадь меньшей трапеции, образованной при проведении средней линии

Меньшее основание данной трапеции равно а, большее основание этой трапеции равно m, высота этой трапеции равна h/2 следовательно, площадь S1 данной трапеции составляет:

S1 = (а + m)/2 * h/2.

Найдем площадь большей трапеции, образованной при проведении средней линии

Меньшее основание данной трапеции равно m, большее основание этой трапеции равно b, высота этой трапеции равна h/2 следовательно, площадь S2 данной трапеции составляет:

S2 = (m + b)/2 * h/2.

Найдем отношение площадей этих двух трапеций

S1 / S2 = ((а + m)/2 * h/2) / ((m + b)/2 * h/2) = (а + m) / (m + b).

Подставляя в данное соотношение значение m = (а + b)/2, получаем:

(а + m) / (m + b) = (а + (а + b)/2) / ((а + b)/2 + b) = ((2а + а + b))/2 / ((а + b + 2b)/2) = (3а + b) / (а + 3b).

Разделим числитель и знаменатель полученного выражения на b:

(3а + b) / (а + 3b) = ((3а + b) / b) / ((а + 3b) / b) = (3(а/b) + 1) / (а/b + 3).

Следовательно, 

S1 / S2 = (3(а/b) + 1) / (а/b + 3).

Найдем отношение оснований трапеции

Согласно условию задачи, средняя линия трапеции делит ее площадь в отношении 5:7, следовательно, можем записать следующее соотношение: 

(3(а/b) + 1) / (а/b + 3) = 5/7.

Решая данное уравнение относительно а/b, получаем:

7 * (3(а/b) + 1) = 5 * (а/b + 3);

21(а/b) + 7 = 5(а/b) + 15;

21(а/b) - 5(а/b) = 15 - 7;

16(а/b) = 8;

а/b = 8 / 16;

а/b = 1/2.

Следовательно, основания данной трапеции относятся как 1:2.

Ответ: основания данной трапеции относятся как 1:2.

 

 

Решение задачи:1. Средняя линия в трапеции делит высоту пополам.2. Площадь трапеции равна половине произведения высоты на основание к которой она проведена - 0.5 * a * h3. Соответственно если отношение площадей трапеции равно 5 / 7, то отношение нижнего основания к средней линии будет 5 /7.4. Средняя линия трапеции - это полусумма оснований трапеции. Соответственно если нижнее основание - 5, средняя линия - 7, то верхнее основание трапеции будет равно - 9.5. Значит: отношение оснований трапеции - 5/9.Ответ: 5/9.